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(1) f(x)=1/(1-x) のマクローリン展開f(x)=Σ[n=0 ∞] a_n x^n を求めよ
(2) g(x)=1(1+x^2)のマクローリン展開f(g)=Σ[n=0 ∞] b_n x^nを1の結果を使って求めよ

(1)は順当にf(x)=(1-x)^-1 , f'(x)=1(1-x)^-2 , f''(x)=2・1(1-x)^-3 , … , f^(n)(x)=n!(1-x)^-n-1 , …
よってf(0)=1 , f'(0)=1! , f''(0)=2! ,… ,f^(n)(0)=n!
したがって1(1-x)=1+x+x^2+...+x^n+…
∴Σ[n=0 ∞] x^n (|x|>1)

(2)は(1)の結果からxと-x^2を置き換えて
1/(1+x^2)=1-x^2+x^4+…+(-x^2)^n+…
∴ Σ[n=0 ∞] (-x^2)^n

としました。疑問なのは、(|x|>1)がとってつけたようだがいいのかなということと、(2)にもこのような条件を書いておく必要があるのか?その場合、どう書けばいいのか?ということです。

とやりました。、

質問者からの補足コメント

  • 最後の1行は消し忘れなので無視してください。

      補足日時:2018/09/23 22:17
  • sanura201809さん、ありがとうございます。
    (1)は|x|<1と条件を書いた方がやはりよいのですね。

    問題は(2)で、|x^2|<1 ⇒ |x|<1 ということでした。
    無限等比級数の定義からいくと、
    |-x^2|<1 ⇔ |x^2|<1 となるのはわかります。
    しかし、これを解くとなぜ|x|<1になるのでしょう。
    絶対値をはずし、x^2<1⇔x<√1=1なのはわかります。
    わからないのは-x^2<1 ⇔ x^2>-1 ⇔x>√-1で、
    虚数iとかになってしまいそうですが、このあたりはいかがでしょう。

      補足日時:2018/09/24 19:26

A 回答 (1件)

|x|<1ですね。

実際、|x|<1ならば、
Σ[n=0 m] x^n=(1-x^(m+1))/1-x → 1/1-x (m→∞)ですから、
収束します。x=1の時は、元の関数f(x)が定義されませんからダメです。

(2)も書けるなら書いておいたほうが良いでしょう。
|x^2|<1 ⇒ |x|<1です。
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√Rcos((θ/2)+Π)+j√Rsin((θ/2)+Π)=√Rexp(j((θ/2)+Π))

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二次関数がスラスラできないうちに三次関数に手を出してもほぼ何も身に付かないでしょう。混乱するだけだし、やたらと時間がかかるはずです。
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=12{x²-12x+(36-36)+27}
=12{(x²-12x+36)+27-36}
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②-3より
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=(1/2)(log3-log2)
=(1/2)・log(3/2)・・・ショートカットver(推奨)

丁寧にやるなら
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t|2・・・3
∫[0 1]x/{(x^2)+2} dx=∫[2 3]{(1/t)・ (1/2)}dt
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不定積分とはどういうものを言うのでしょうか
質問ばかりですみません

Aベストアンサー

ANo.1/3です。


>なるほど、それでは発見までされたとすると
>現代の科学ではニュートン、ライプニッツの功績により微分積分学の基本定理によって微分と不定積分が繋げられているわけですね
>それでは不定積分(逆微分)と定積分はどのようにして繋がっているのでしょうか

不定積分は、先に書いた逆微分による定義の他に、3種類の定義(合計4種類)を持っています。

その中の一つである、「変数が一つの関数f(x)において、定義域内の任意の閉区間[a,b]上の定積分が、F(b)-F(a) に一致する関数F(x)を、関数f(x)の不定積分」と定義するものがあります。
これが不定積分と定積分を結びつけています。

高校で学習する微分・積分はほんの入口にすぎません。
短い期間で微分・積分を学習させるために、あえて深く踏み込んで説明していないところがあります。
不満に思うかもしれませんが、微分・積分を詳細にやりだすと大半の高校生はついていけなくなります。
逆に言うと微分・積分は、それだけ専門知識が必要な分野だと考えて下さい。


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