確率の漸化式の問題で、連立漸化式を立てる理由がわかりません

青チャートＢのExercise85（一橋大）の問題です。
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AとBの2人が、1個のさいころを次の手順により投げ合う。1回目はAが投げる。
1,2,3の目が出たら、次の回には同じ人が投げる。
4,5の目が出たら、次の回には別の人が投げる。
n回目にAがさいころを投げる確率a_nを求めよ。
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n+1回目にAが投げるのは、
(1)n回目にAが投げ、1,2,3のどれかが出た場合
(2)n回目にBが投げ、4,5のどれかが出た場合　　　のどちらかなので、

a_(n+1) = 1/2 × a_n + 1/3 × (1 - a_n) = 1/3 + 1/6 × a_n …①
と立式して、普通の漸化式の解き方で
a_n = 2/5 + 3/5 × (1/6)^(n-1)
という解になりました。が、解答とは違っていました。解答では、

n回目にBが投げる確率をb_nとおいて、
a_(n+1) = 1/2 × a_n + 1/3 × b_n …②
b_(n+1) = 1/3 × a_n + 1/2 × b_n …③
という連立漸化式を作り、いろいろやって
a_n = 1/2 × {(5/6)^(n-1) + (1/6)^(n-1)}
という答えになっていました。
ですが、なぜわざわざ連立漸化式にするのかがわかりません。
私は、b_n = 1 - a_n という関係を最初から使って①の式にしましたので、①と②は同じ意味の式なのはわかってもらえると思います。①の式だけでa_nが出せる（ように思える）のに、なぜ③の式も必要なんでしょうか？

質問者からの補足コメント

• 

  質問文の問題の続きです。
  
  6の目が出たら、投げた人を勝ちとし、それ以降は投げない。
  
  です。今回の質問に関係ないかと思って、省略してしまいました。すみません。

    補足日時：2018/09/28 21:50

No.1 ベストアンサー 回答者： Andersen_999 回答日時： 2018/09/28 21:45

6がでたときどうなるか書いてないですが、試行を終了する、ということでいいでしょうか。

広く解答がほしいなら、質問文は正確に。

で、その想定が正しいならば、そもそもn回振り続けるのが当たり前ではなく「Aが振ること」の余事象が「Bが振ること」ではないわけで、「Bが振ること」の確率を1-a_nとおいてはいけませんよね。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。ご指摘の件、問題の残りの部分を補足しました。すみません。

で、「Aが振る」の余事象は、「Bが振る」ではないんですね。振る人はAとBしかいないのに、正直ちょっとわかりません。n回目の全事象は、①Aが振る②Bが振る③誰も振らない（終わってる）の３つですか？もし、n回目が存在しないのなら、n+1回目なんて、立式すらできないんじゃないか？と思うのですが、、、ちょっとよく考えてみます。

お礼日時：2018/09/28 21:55