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質問です。単原子分子理想気体の状態方程式を用いて準静的断熱曲線を(P,V)と(T,V)グラフに表せ。また、準静的等温曲線を表し比較せよ。
お願いします。

A 回答 (1件)

単原子分子理想気体の状態方程式を用いて準静的断熱曲線を(p,V)と(T,V)グラフに表せ。

また、準静的等温曲線を表し比較せよ。
1、等温変化 エンジンのシリンダーの中にnモルの気体が入っていて、体積はV、圧力はpとする。
理想気体の状態方程式はpV=nRT__①である。  
準静的等温変化では①からpとVは反比例する(図1)。ピストンを使って急に圧縮するとTが上昇し、また、膨張させた時はTが下降し、等温変化からはずれる。この時、熱の移動(伝熱)があると、誤差となる。VとTの関係はV/T=nR/p=一定__②となる。VとTは比例する。(図2)
準静的等温変化は、少しでも発熱、伝熱があると、急な変化では等温でなくなるので、等温であるためには、変化はゆっくりであることが必要である。これを準静的という。
2、逆に断熱可逆過程は、熱が伝わる間もなく急劇に変化する事もあるので、等エントロピー過程(英語アイゼントロピック過程isentropic process,isentropic flow)という。例えば空気中の音速cの公式は
c=√(γp/ρ)__③ ここでγ = Cp/Cvは等圧比熱Cpと等積比熱Cvの比,pは圧力,ρは密度である。音波の空気振動が伝わるのは断熱可逆過程であるが、準静的とは言えない動的な現象である。ジェットエンジンの中のガス流では、熱が伝わる間もなくガスが超音速で圧縮され、また膨張する。準静的と言う言葉は適しない。しかし、超音速の瞬間には衝撃波が発生し、これは、可逆過程となる。(教師が不適切な言葉を使うと、学生が間違った認識を持ってしまう。)
3、比熱 シリンダーの中のnモルのガスが持っている熱エネルギーを内部エネルギーUという。Uは熱運動の運動エネルギーでTに比例する。比例定数を等積比熱Cvといい、U=nCvT__④となる。エネルギー等分配則を使って自由度から計算すると、単原子分子では自由度は3(x,y,z方向の分子運動の速度)だからU=3(1/2)nRT__⑤となる。
等積加熱過程:ピストンを固定してガスを加熱すると、内部エネルギーがdUだけ増加し、温度がdTだけ上昇する。dU= nCvdT__⑥の関係にあり、増加率はdU/dT=nCv__⑦となる。Cvは1モル当たりの定積比熱という。⑤⑥からCv=3R/2__⑧となる。
二原子分子では分子回転運動の自由度2が増えてU=5(1/2)nRTとなりる。Cv=5R/2となる。
等圧加熱過程:ピストンの固定をはずしてガスを加熱すると温度Tが上昇するほかに、ガスが膨張して体積Vも増加する。圧力はピストンの外の外圧とバランスしているので、pは一定であり、等圧加熱過程である。先の等積加熱と比べると、温度がdTだけ増加し、体積がdVだけ増加する。体積がdVだけ増加するためには、ガスは外部に対してpdVの仕事をしなければ膨張できない。従って等圧加熱でdTだけ温度を上昇させるためには、定積加熱の時のdU =nCvdT に加えてpdVの仕事に相当するエネルギーを必要とする。そのため、等圧加熱過程に必要な熱量はdU + pdV__⑨である。等圧加熱過程ではpは一定なので、dU + pdV=d(U + pV)=dH__⑩となる。H=U+pV__⑪と置いて、Hをエンタルピーという。温度dTの上昇のために必要なエネルギー(熱量)の増加率は(dU + pdV)/dT=dH/dT=nCp__⑫となる。
Cpを1モル当たりの定積比熱という。エンタルピーHは等圧加熱過程で、等温加熱の時のUの代わりの役割りを果たす。
状態方程式pV=nRT_①を使うと、式⑨のpdVはpdV=nRdT__⑬となるので、⑥と⑬を使うと⑫は
nCp=(dU + pdV)/dT=( nCvdT + nRdT)/dT =nCv+ nR
Cp=Cv+R__⑭
となる。⑭をマイヤーの関係式という。⑧と⑭からCp=5R/2__⑮
比熱比γ= Cp/ Cv=(5R/2)(3R/2)=5/3=1.66
4、等エントロピー過程の関係式の導出
この系のエネルギー変化は、行った仕事と追加された熱の総和である。
dU=dW+dQ
体積の変化で系がなした仕事は次の式で表される。
dW=−pdV
断熱可逆過程は熱を外界とやり取りしないので、dQ=0となり、内部エネルギーUの変化は
dU=−pdV, dU=nCvdTの式に従う。するとエンタルピーH=U+pVの変化は次の式に従う。
dH=dU+pdV+Vdp=Vdp
dH=nCpdT
これから、比熱比γについて次の式が成り立つ。
γ=Cp/Cv=(ndH/dT)/(ndU/dT)=−Vdp/pdV =−(dp/p)/(dV/V)
γ(dV/V)+(dp/p)=0__⑭ 
γは上記理論により、単原子分子では5/3、二原子分子では7/5である。実験的にも合っている(He,20℃.1.66、Ar,20℃.1.67、空気,20℃.1.40、)。
γは定数として式⑭を積分すると、∫γ(dV/V)+ ∫(dp/p)=γlogV+logp=log(p・V^γ)=定数
pV ^γ=pV ^(5/3)=一定__⑮ (図3 pとV^(5/3)は反比例する。)
断熱過程=等エントロピ―過程では、断熱圧縮してVを減少させると圧力pは定積過程より激しく増加する。
式①pV=nRTで⑮を割ると、左辺=V ^(γ− 1)=一定/nRT=右辺。これから次となる。
TV^(γ−1)=一定/nR=k。右辺の一定/nRは定数だから、これをkとした。
T=kV^(-2/3)となる。(図4 TとV ^(5/3)は反比例する。シリンダーの中のガスを断熱圧縮して、Vを減少させる時、温度Tが上昇する。準静的定温過程では温度は不変である。
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d²θ/dt²=Axsinθ/√{1+x²-2xcosθ} ³__①
初期条件t=0で、θ=π/2,dθ/dt=0

2階微分の式を1回は解析的に積分できて簡単化できるが、2回目は解析的に積分できない。

①を積分すると
dθ/dt=∫Axsinθdθ/√(1+x²-2xcosθ) ³__②
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dθ/dt=-∫Axdu /√(1+x²-2xu)³__④
=-A/x√(1+x²-2xu)+C=(-A/x)/√(1+x²-2x cosθ)+C__⑤
⑤に初期条件を入れると、t=0でθ=π/2,cosθ=0,dθ/dt=0だから
0=(-A/x)/√(1+x²)+C
C=(A/x)/√(1+x²)
⑤は
dθ/dt=(-A/x)/√(1+x²-2x cosθ)+(A/x)/√(1+x²)
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