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(2+m)/[√5√(1+m²)]=1/√2はどんな時に出てくる式ですか?

A 回答 (1件)

(2+m)/[√5√(1+m²)]=1/√2__① はどんな時に出てくる式ですか?



手がかりを得るために、まず、方程式を解いて、m=・・・の形にして見る。式①を得る二乗して、分母を払うとmの二次方程式になる。
(2+m)²/[5(1+m²)]=1/2
2(2+m)²=5(1+m²), 2(m²+4m+4) =5+5m²
3m²-8m-3=0
(3m+1)(m-3)__②
これから
m=-1/3またはm=3という二つの解を得る。
ためしにmを直線の傾きを表す勾配と仮定してm=tanθ__③とする。
θは傾きの角度である。
m=3=tanθのときは、θ=arctan(3)≒71.57°__④である。
もう一つの解m=-1/3に対応する角度をθ1とするとm=-1/3=tanθ1のときは、
tan(90°-θ1)=1/tanθ1=-3=tan(-θ)であるから
90°-θ1=-θとなる。θ1=90°+θ≒161.57°__⑤となる。
次に
tanα=1/2__⑥
となる角度をαとする。するとcosα=1/√(1+tan²α) =2/√5,sinα=1/√5__⑦
α=arctan(1/2)≒26.565°である。
式①にm=(2+m)/[√5√(1+m²)]=1/√2__④を使って、θの方程式に形を変えて見ると
(2+m)/[√5√(1+m²)]=1/√2__①
=(2+ tanθ)/[√5√(1+ tan²θ)]=(2+ tanθ)/[√5√(sec²θ)]=(2+ tanθ)/[√5secθ)]
=(2+ tanθ)cosθ/√5=(2 cosθ+ sinθ)/√5=(2/√5 )cosθ+(1/√5 ) sinθ__⑧
式⑧に式⑦のcosα=2/√5,sinα=1/√5を使うと
= cosαcosθ+ sinαsinθ=cos(θ-α)
となるので、方程式①は
cos(θ-α)=1/√2= cos(45°)__⑨
となる。これから
θ-α= 45°
θ= 45°+α≒45°+26.565°=71.565°__⑩
式④の結果と一致する。
mは図のような問題の解である。図で直線OAの方程式はy=(1/2)xである。直線OBの方程式はy=mxである。
mは直線OBの傾きである。∠AOBは45°である。mを求めよ。
解法:∠xOA=αとする。m=tanθである。θ=45°+αだから、θ-α=45°である。
両辺のcosを取ると
cos(θ-α)= cos45°=1/√2__⑪
左辺を変形すると
cosθcosα+ sinθsinα=1/√2__⑫
式⑦のcosα=2/√5,sinα=1/√5を使うと
cosθ(2/√5)+ sinθ(1/√5)=1/√2__⑫
(2 cosθ+ sinθ)/√5=1/√2
次にcosθ=1/√(1+tan²θ)=1/√(1+m²),
sinθ=tanθ/√(1+tan²θ)=m/√(1+m²)__⑬
の関係を使うと
(2/√(1+m²)+m/√(1+m²))/√5=1/√2__⑭
(2+m)/[√5√(1+m²)]=1/√2__⑮
となる。⑮は式①の方程式で、これを解くとm=3となり、直線OBはy=3xとなる。
もう一つの解m=-1/3からは直線OBに垂直な直線が出る。
「(2+m)/[√5√(1+m²)]=1/」の回答画像1
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