次の問題に対する解答と解き方を教えてください。

等式 xy = x + y + 5 ( x < y )をみたす整数 x, yの組をすべて求めなさい。

数学の問題集の問題なのですが、解き方がよく分かりません。よろしくお願いします。

A 回答 (2件)

因数分解を用るとすっきり計算できます。

xy、-x、-yを見た瞬間、これに1を加えると
(x-1)(y-1)に因数分解できることに気付くかがポイントです。

xy=x+y+5
→xy-x-y=5
→xy-x-y+1=6
→(x-1)(y-1)=6

ここで、x-1=X、y-1=Yとおくと、XY=6になります。x、yは整数であるから、
X,Yも整数(X<Y)になります。だから、これを満たす組み合わせは、
(X,Y)=(1,6),(2,3),(-6,-1),(-3,-2)
だけですよね。
※負×負=正であるから、X<Y<0も忘れずに。

あとは、x=X+1、y=Y+1より、上の値を変換すると、
(x,y)=(2,7),(3,4),(-5,0),(-2,-1)
となります。
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この回答へのお礼

詳しい回答、そしてすばやい回答ありがとうございます。これからもう1度問題を解き直してみます。本当にありがとうございました。

お礼日時:2001/07/22 21:18

とりあえず、y について整理してみましょう。



xy = x + y + 5

(x - 1)y = x + 5

  x + 5
y = ───
  x - 1

  x - 1 + 6
y = ─────
  x - 1

   6
y = ─── + 1
  x - 1


y が整数なんだから、6 / (x - 1) が整数になるので、x は幾つかしか
ないですね。後は、x < y を満たしているものを探すだけ。
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この回答へのお礼

とても早い回答、ありがとうございます。私は今受験勉強の真っ最中で、数学の勉強をしていたのですがつまづいてしまって・・・。
いまから、この問題にもう1度チャレンジしてみようと思います。本当にありがとうございました。

お礼日時:2001/07/22 21:14

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