次の問題に対する解答と解き方を教えてください。

等式 xy = x + y + 5 ( x < y )をみたす整数 x, yの組をすべて求めなさい。

数学の問題集の問題なのですが、解き方がよく分かりません。よろしくお願いします。

A 回答 (2件)

因数分解を用るとすっきり計算できます。

xy、-x、-yを見た瞬間、これに1を加えると
(x-1)(y-1)に因数分解できることに気付くかがポイントです。

xy=x+y+5
→xy-x-y=5
→xy-x-y+1=6
→(x-1)(y-1)=6

ここで、x-1=X、y-1=Yとおくと、XY=6になります。x、yは整数であるから、
X,Yも整数(X<Y)になります。だから、これを満たす組み合わせは、
(X,Y)=(1,6),(2,3),(-6,-1),(-3,-2)
だけですよね。
※負×負=正であるから、X<Y<0も忘れずに。

あとは、x=X+1、y=Y+1より、上の値を変換すると、
(x,y)=(2,7),(3,4),(-5,0),(-2,-1)
となります。
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この回答へのお礼

詳しい回答、そしてすばやい回答ありがとうございます。これからもう1度問題を解き直してみます。本当にありがとうございました。

お礼日時:2001/07/22 21:18

とりあえず、y について整理してみましょう。



xy = x + y + 5

(x - 1)y = x + 5

  x + 5
y = ───
  x - 1

  x - 1 + 6
y = ─────
  x - 1

   6
y = ─── + 1
  x - 1


y が整数なんだから、6 / (x - 1) が整数になるので、x は幾つかしか
ないですね。後は、x < y を満たしているものを探すだけ。
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この回答へのお礼

とても早い回答、ありがとうございます。私は今受験勉強の真っ最中で、数学の勉強をしていたのですがつまづいてしまって・・・。
いまから、この問題にもう1度チャレンジしてみようと思います。本当にありがとうございました。

お礼日時:2001/07/22 21:14

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(x4乗−x二乗y二乗+y4乗)

↑見づらくてすみませんT_T
途中の計算式、説明含めて教えて下さい。
来週、期末テストで助けで下さい…

Aベストアンサー

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Aに (x^2+y^2)を代入して計算すると  x^4+x^2y^2+y^4  なります
x^4+y^4=B と考えると 与式は   (B+x^2y^2)(B-x^2y^2)

B^2-x^4y^4   Bに x^4+y^4 を代入すると (x^4+y^4)^2-x^4y^4

計算して、 x^8+2x^4y^4+y^8-x^4y^4=x^8+x^4y^4+y^8 

参考までに。

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途中式も詳しく教えてくださると嬉しいです!たすきがけの部分もできたら教えてください

Aベストアンサー

このような問題は、数学の問題だから「きっと、必ず因数分解できるに違いない」と思ってアプローチできますが、現実の社会では「必ずしも因数分解できるとは限らない」と思わないといけません。

 ということで、行きあたりばったりにいろいろトライ・アンド・エラーしていても解けるとは限りませんので、ここはドンくさく、正攻法でやるしかありません。

 お示しのようなx, y の二次式は、一般的に
   (ax + by + c)(dx + ey + f)
と因数分解できます。a~f を整数に限らなければ、必ずこう書けます。
 あとは、a~f を整数になるかならないかで、整数で表わせなければ、「きれいに」因数分解できないということです。

 これを展開すると
  adx² + (ae + bd)xy + bey² + (af + cd)x + (bf + ce)y + cf
となるので、これと与えられた式を比べて、a~f を求める、という作業をするのが「正攻法」です。

 やってみましょう。(a, b, c)と(d, e, f) は対称形になるので、一方だけを示します。

(1)
ad = 2
ae + bd = -3
be = -2
af + cd = 5
bf + ce = 5
cf = -3
面倒ですが、これを解けば
 a=2, b=1, c=-1, d=1, e=-2, f=3
となります。
 つまり
2x² - 3xy - 2y² + 5x + 5y - 3
= ( 2x + y - 1)( x - 2y + 3)

(2)同様に
ad = 1
ae + bd = -1
be = -2
af + cd = 2
bf + ce = -7
cf = -3
これを解けば
 a=1, b=1, c=3, d=1, e=-2, f=-1
となります。
 つまり
x² - xy - 2y² + 2x - 7y - 3
= ( x + y + 3)( x - 2y - 1)

(3)さらに同様に
ad = 6
ae + bd = 5
be = -6
af + cd = 1
bf + ce = -5
cf = -1
これを解けば
 a=2, b=3, c=1, d=3, e=-2, f=-1
となります。
 つまり
6x² + 5xy - 6y² + x - 5y - 1
= ( 2x + 3y + 1)( 3x - 2y - 1)

このような問題は、数学の問題だから「きっと、必ず因数分解できるに違いない」と思ってアプローチできますが、現実の社会では「必ずしも因数分解できるとは限らない」と思わないといけません。

 ということで、行きあたりばったりにいろいろトライ・アンド・エラーしていても解けるとは限りませんので、ここはドンくさく、正攻法でやるしかありません。

 お示しのようなx, y の二次式は、一般的に
   (ax + by + c)(dx + ey + f)
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次数の低い方、
その文字の現れる項数が少ない方
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例題の場合はx,yについて共に2次、項数も共に3項で同じ、最高次の係数も3と2で素数の小さな数ですから、あまり差はありません。後は好みだけの問題でしょう。同じならxと決めて置いても

他の方法としてxとyの両方に着目し2次の項の因数分解
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そうすると答えが
x4一9x2y2一54xy3一81y4
となりました。

でも答えはx4+9x2y2+81y4
になるそうです。
どうやら(B−3xy)(B+3xy)
と置き換えなければならないそうです。

置き換える数字によって
答えが変わってくるんでしょうか
m(_ _)m
難しいです
写真は途中で書くのやめてしまっていて、=x4となってますがすみません。

Aベストアンサー

(x2−3xy+9y2)(x2+3xy+9y2) これを(x2-A)(x2+A) とおきかえました。 ここで、ケアレスミスがありますね。

3xy+9y2 を 置き換えようとすると 正負がそろわなくなります。 

{x^2-(3xy-9y^2)}{(x^2+(3xy+9^2)} 括弧内が違いますよね。
マイナスでくくりますので、正負の符号が変わるためです。

ですから与式を整理して (x^2+9y^2-3xy)(x^2+9y^2+3xy)として

(x^2+9y^2)をAと置き換えることにより、{(x^2+9y^2)-3xy}{(x^2+9y^2)+3xy} から

(A-3xy)(A+3xy) として、展開・計算します。

参考までに。

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「実数x,yについて、x^2-2xy+2y^2-4x+2y+8 の最小値と、そのときのx,yの値を求めよ。」という問題を解くと、

 解)t=x^2-2xy+2y^2-4x+2y+8 とおき、Xについて整理すると、
    =…={x-(y+2)}^2+y^2-2y+4 
  
  これより、tは、x=y+2 のとき、最小値y^2-2y+4 をとる。

  ここで、g(y)=y^2-2y+4 とおくと、
     
    (省略)

と、この後は、g(y)=y^2-2y+4 を平方完成し、最小値を求めていきますが、このtの式の最小値が、
y^2+Z+4となるtの式が有った場合、tの最小値は、以下の3通りのどれでしょうか?

 (1)y^2+Z+4 → y^2+Z+4 , (2)y^2+Z+4=y^2+(Z+4) より、z+4 ,
 (3)y^2+Z+4=y^2+(Z+4) より、z+4は1次関数なので、最小値はもたない

また、y^2+z^2+4となるtの式が有った場合、tの最小値は、
 y^2+z^2+4 → y^2+z^2+4=y^2+(z^2+4) より、4 

で合っているでしょうか?

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    =…={x-(y+2)}^2+y^2-2y+4 
  
  これより、tは、x=y+2 のとき、最小値y^2-2y+4 をとる。

  ここで、g(y)=y^2-2y+4 とおくと、
     
    (省略)

と、この後は、g(y)=y^2-2y+4 を平方完成し、最小値を求めていきますが、このtの式の最小値が、
y^2+Z+4となるtの式が有った場合、tの最小値は、以下の3通り...続きを読む

Aベストアンサー

>このtの式の最小値が、y^2+Z+4となるtの式が有った場合

意味不明です。「tの式」を定義してください。


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