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これの答えってどうなりますか?

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A 回答 (6件)

各項が、「等差数列」の項と「等比数列」の項の積になっています。



こういうものは、「等比数列」の公比をかけたものとの「差」をとると、「公差」がうまいこと「定数」になってくれるものが多いです。

やってみれば、求める数列の和は
 Sn = 1*1 + 3*2 + 5*2^2 + 7*2^3 + ・・・・ + (2n - 1)*2^(n - 1)

これに「公比:2」をかけてみると
 2Sn = 1*2 + 3*2^2 + 5*2^3 + 7*2^4 + ・・・・ + (2n - 1)*2^n

この差をとると
 Sn - 2Sn
= 1*1 + (3 - 1)*2 + (5 - 3)*2^2 + (7 - 5)*2^3 + ・・・ + [ (2n - 1) - (2n - 3) ]*2^(n - 1) - (2n - 1)*2^n
= 1*1 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + ・・・ + 2^n - (2n - 1)*2^n

これが
 Sn - 2Sn = -Sn
になるので、
 Sn = (2n - 1)*2^n - (2^2 + 2^3 + 2^4 + ・・・ + 2^n) - 1
  = (2n - 1)*2^n - 2(2^1 + 2^2 + 2^3 + ・・・ + 2^(n - 1)) - 1

カッコの中は、「初項 2、公比 2 の等比数列の和(項数は (n - 1) )」なので、
 2^1 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + ・・・ + 2^n = 2(2^(n - 1) - 1)/(2 - 1) = 2^n - 2
なので

 Sn = (2n - 1)*2^n - 2*(2^n - 2) - 1
  = (2n - 1)*2^n - 2^(n + 1) + 4 - 1
  = [ (2n - 1) - 2 ]*2^n + 3
  = (2n - 3)*2^n + 3
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部分和分法より


S=Σk; 1…n (2kー1)・2^k-1=Σk;1…n k・2^k ー(1/2)Σk;1…n 2^k
=∫ 1…n k・2^k ⊿ kー(1/2) ∫ 1…n 2^k ⊿ k
ここで、f(k)=k ,⊿g(k)=2^k とすれば
g(k)=∫ 2^k ⊿ k=2^k /(2-1)=2^k
⊿f(k)=1 ,g(k+1)=2^k+1 より
∴ S=[ k・2^k ]n+1…1 ー∫ 1…n 1・2^k+1 ー(1/2)∫ 1…n 2^k ⊿ k
=[ k・2^k ]n+1…1 ー[ 2^k+1 ]n+1…1 ー(1/2)[2^k]n+1…1
=(n+1)2^n+1 ー2 ー (2^n+2 ー2^2 )ー(1/2)(2^n+1 ー2 )
=2(n+1)2^n ー2 ー( 4・2^n ー4 )ー(2^n ー1 )
=(2n+2ー4ー1)2^n ー2+4+1
=(2nー3)2^n + 3
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肝心の筆算の部分の行がずれてしまったので再投稿



  Sn=1・1+3・2+5・2²+7・2³+・・・・・・+(2n-3)・2^(n-2)+(2n-1)・2^(n-1)
-)2Sn=   1・2+3・2²+5・2³+7・2⁴+・・・・・・・・・・・+(2n-3)・2^(n-1)+(2n-1)・2^n
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
 ーSn=1・1+2・2+2・2²+2・2³+・・・・・・・・・・・・・・+2・2^(n-1)   -(2n-1)・2^n

より-Sn=1・1+4{1-2^(n-1)}/(1-2)-(2n-1)・2^n
(∵2・2+2・2²+2・2³+・・・・・・・・・・・・・・+2・2^(n-1)は初項4公比2項数n-1の等比数列の和)
よって
Sn=-1-4{1-2^(n-1)}/(1-2)+(2n-1)・2^n
=-1+4-2・2^n+(2n-1)・2^n
=3+{-2+(2n-1)}・2^n
=3+(2n-3)・2^n
(=(2n-3)・2^n+3)
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Sn=1・1+3・2+5・2²+7・2³+・・・・・・+(2n-3)・2^(n-2)+(2n-1)・2^(n-1)


-)2Sn=   1・2+3・2²+5・2³+7・2⁴+・・・・・・・・・・・+(2n-3)・2^(n-1)+(2n-1)・2^n
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
 ーSn=1・1+2・2+2・2²+2・2³+・・・・・・・・・・・・・・+2・2^(n-1)   -(2n-1)・2^n

より-Sn=1・1+4{1-2^(n-1)}/(1-2)-(2n-1)・2^n
(∵2・2+2・2²+2・2³+・・・・・・・・・・・・・・+2・2^(n-1)は初項4公比2項数n-1の等比数列の和)
よって
Sn=-1-4{1-2^(n-1)}/(1-2)+(2n-1)・2^n
=-1+4-2・2^n+(2n-1)・2^n
=3+{-2+(2n-1)}・2^n
=3+(2n-3)・2^n
(=(2n-3)・2^n+3)
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答を書いてなかった



((2n-3)*(2^n))+3 でしょうか(誤解のないように無駄に()をつけてます)
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Sn-2*Sn を計算してみる



Snのk番目の項は (2k-1)*2^(k-1)
Snの(k-1)番目の項を2倍すると (2k-3)*2^(k-1)
差をとると 2^k

この方法で差を考える相手がないのはSnの初項と2*Snの最終項
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