確率統計の質問です。時系列解析の勉強中に、2つの標準正規分布XとYが、E(XY)=0なら２つは独立と

確率統計の質問です。時系列解析の勉強中に、2つの標準正規分布XとYが、E(XY)=0なら２つは独立となる。ような旨があったのですが、どのように示すのでしょうか？

No.4 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2018/11/06 02:48

#3です。

No.1の回答は間違いです。

反例は、円周上に等間隔に並んだデータです。
共分散あるいは相関係数は０ですが、円の方程式に従う強い従属性があり、xとyは独立ではありません。
やはり、正規分布という前提が必要になります。

No.3 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2018/11/04 20:59

二つの分布が独立であることの定義は、確率Pについて、P(x,y)＝P(x)×P(y)

この式の右辺をガウスの式（正規分布の確率密度）の積で表し、expの中を平方完成させようとすると、E(x)とE(y)の積がカッコの外に出る。

だが、E(xy)＝0であれば、平方完成でき、右辺もまた正規分布の関数の形になる。

ということではないでしょうか。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2018/10/31 09:33

No.1です。

＞ですが、大変申し訳ありませんが、この回答は誤りです。

はあ。
そこまで詳しくご存じならば、(X, Y) のような二次元正規分布の独立性の考え方はご承知ですよね？　
「2つの標準正規分布XとY」であることが条件で、E(XY)=0　は「独立」の必要十分条件になります。
例えば下記。
http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/17kakto/apd …

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2018/10/29 23:06

一般に、(X, Y) = (x1, y1), (x2, y2), ･･･ (xn, yn) のデータがあるとき

　μx = E[X], μy = E[Y]
とすると
　Cov(X, Y) = E[(X - μx)(Y - μy)]
を「共分散」と呼びます。

X と Y の分布に関係がない場合には Cov(X, Y) = 0 になります。

↓　参考まで。
https://atarimae.biz/archives/15752

標準正規分布とは、平均が 0, 分散が１の正規分布です。
従って、X, Y が標準正規分布なら、
　μx = E[X] = 0, μy = E[Y] = 0
ですから、
　E(XY) = Cov(X, Y) = 0
ということです。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。ですが、大変申し訳ありませんが、この回答は誤りです。
Cov(X,Y)=E[XY]-E[X]E[Y]=0
はXとYが独立であるための必要条件であって、十分条件ではありません。

例えば、(X,Y)が(1,0)(-1,0)(0,1)(0,-1)をそれぞれ1/4の確率でとる確率変数であるとすると、
E[XY]=E[X]=E[Y]=0
ですが、
P(X=1,Y=1)とP(X=1)・P(Y=1)の値が異なって、このXとYはE[XY]-E[X]E[Y]が0ですが、お互い独立ではありません。
確率変数の独立とは相関係数が0とは異なり、
P(X in A and Y in B)=P(X in A) ・P(Y in B)
を全ての可測集合AとBでみたすことで定義されています。これらの確率が定義されることは、XとYが確率変数である場合は、AとBのXとYによる引き戻しが可測集合であることから保証されています。

そのため、E[XY]-E[X]E[Y]=0だからといってXとYが独立とは一般には全く言えないのですが、時系列解析の本にXとYが標準正規分布なら成り立つと証明抜きに記してあって、本当にそうなのか疑問で質問させていただいたのが今回となります。

上の説明ですとXとYが標準正規分布であることを期待値と分散の算出においてしか用いていませんが、おそらくもっと正規分布であることを押し出した手法じゃないと証明できないのでないかとは思っています。

お礼日時：2018/10/29 23:27