複素関数w=z|z|において z≠0のとき、C-Rの方程式は成り立たないので、 z≠0のとき正則でな

複素関数w=z|z|において
z≠0のとき、C-Rの方程式は成り立たないので、
z≠0のとき正則でないことはわかりますが、
それがz≠0のとき微分不可能に繋がることが
よくわかりません。

わかる方いますか？

No.3 ベストアンサー 回答者： syotao 回答日時： 2018/10/31 15:23

No.1です。

ちなみにこっちで計算したところ
この関数の微係数はｚ≠0のとき
複素平面上原点からこの関数を表わす点の方向に対しては、2|ｚ|
その方向と角度　＋90°の方向に対しては　|ｚ|という値を持ちます。
つまり方向によってちがう微係数を持つので
この関数はｚ≠0のとき微分不可能となります。

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2018/10/30 23:04

まともな証明は覚えてないので、雰囲気だけ。

複素数は2次元べクトルなので微少変化量Δzは
様々な方向を持てます。

ΔZの角度変化に対してΔwも同じ様に角度が変化しないと
微分が収束するはずがありません。しかしその様な関数は少ないです。

Δzの変化方向を決めてやれば、たいていの複素関数は微分可能です。

コーシーリーマンの関係式は
複素関数をzを実軸方向、虚軸方向の2通りに変化させて微分を求めて、
両者が一致するかを調べます。

これは明らかに微分可能であることの必要条件ですが、
十分条件にもなるようです。

証明は複素関数論の本を見て下さい(^-^;

No.1 回答者： syotao 回答日時： 2018/10/30 15:26

前に申したように関数ｗが

ある点ｚで微分可能ならばその点で2つあるC-Rの方程式を両方
満足しなくちゃいけない。
ところがｗ＝z|z|はz≠0となるすべてのｚで2つあるC-Rの方程式
を両方共は満足できない。
したがって、ｗ＝z|z|　は　z≠0となるすべての点で微分不可能になる。
こういう論理展開になります。
そしてその結果z≠0のとき正則でない、
あなたはこういう順序で状況を理解していますか？