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数学III 色々な曲線

問題
双曲線C1:xy=1
双曲線C2:x^2-y^2=1
についてC2を原点中心にπ/4回転し、√2倍に拡大すると、C1となることを示せ。

C1とC2を極方程式に表す事はできましたが、
そのC2の極方程式のrを√2倍、θをπ/4増えると考えて、(√2)^2cos2(θ+π/4)=1としました。

なぜr/√2とθ−π/4とするのか分かりません。
よろしくお願いします。

A 回答 (1件)

双曲線C1:xy=1__①


双曲線C2:x²-y²=1__②
についてC2を原点中心にπ/4回転し、√2倍に拡大すると、C1となることを示せ。

極座標にすると、x=r cosθ,y=r sinθを①②に入れて
双曲線C1:r²cosθsinθ=1__③
双曲線C2: r²cos²θ-r²sin²θ= r²(cos²θ-sin²θ)= r²cos2θ=1__④
ここでr=r₁/√2,θ=θ₁−π/4__⑤という変換を行い、④に入れると
(r₁²/2)cos(2(θ₁−π/4)=(r₁²/2)cos(2θ₁−π/2)=(r₁²/2)sin(2θ₁)
=r₁²sinθ₁cosθ₁=1__⑥
⑥は③のC1と同じ形の方程式だから、C1の図形を示します。⑤を逆に解くと。
r₁=√2 r、θ₁=θ+π/4__⑥
となり、⑤の変換後のr₁は変換前のrの√2倍になっていて、変換後のθ₁は変換前のθよりπ/4増えています。
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お礼日時:2018/11/06 14:12

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