OA:OB=3:2,∠AOB=60°である
△OABの外接円の中心をCとする。
OAベクトル=aベクトル,OBベクトル=bベクトルとするとき、
OCベクトルをaベクトル,bベクトルで表せ。

昨日1日考えましたが全然分からないんです。
こうやれば解けるといった分かりやすい「考え方」を教えて下さい。
(高2レベルで教えて下さい)

A 回答 (1件)

OC=sa+tb とおいてs,tを求めればよいですね。


OAの中点をM,OBの中点をNとします。
Cは△OABの外接円の中心ですから
CM⊥OA,CN⊥OB ですね。
ベクトルの問題で垂直ときたら内積=0を使うのが常識(?)ですから
CM・OA=0,CN・OB=0
という2つのs,tに関する式ができます。
この連立方程式を解けば答えが出ますね。 

念のため、CM・OA=0はどうなるか書いておきます。
CM=OM-OC=(1/2)a-(sa+tb)=(1/2-s)a-tb
なので
CM・OA={(1/2-s)a-tb}・a=(1/2-s)|a|^2-t(b・a)
ここで、OAの長さ=|a|=3mとおくと |b|=2m だから
b・a=2m*3m*cos60°=3m^2
よって
CM・OA=9m^2(1/2-s)-3m^2t=0
つまり
3(1/2-s)-t=0
という方程式が出ます。
CN・OB=0の方は自分でやってみてくださいね。
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この回答へのお礼

なるほど!OA,OBの中点を用いて内積=0を使うんですね。
全く分からなかったので、とても助かりました。
ありがとうございました。

お礼日時:2001/07/23 22:03

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→OD=→-2→OC/3 まで出たのですが、そこから先が分かりません。
答えは3/2らしいのですが、そもそも解き方が間違っているのでしょうか?
解答を書きづらいようでしたら、ヒントだけでも構いませんので教えて頂けると幸いです。

Aベストアンサー

>> 4↑OA+5↑OB+6↑OC=↑O
>> |↑OA|=|↑OB|=|↑OC|=1
---------

6↑OC=-(4↑OA+5↑OB)、
|6↑OC|=|-(4↑OA+5↑OB)| 両辺を2乗して、
36|↑OC|^2=16|↑OA|^2+40↑OB・↑OA+25|↑OB|^2
36=16+40↑OB・↑OA+25
0=40↑OB・↑OA+5
-2↑OB・↑OA=(1/4)

AB^2=|↑OB-↑OA|^2
,,,,,,,,,,,=|↑OB|^2-2↑OB・↑OA+|↑OA|^2
,,,,,,,,,,=2+(1/4)=(9/4)

AB=3/2

お茶の水女子大学の出題だったと思いますが。

Qaベクトル=(1,2,1) bベクトル=(2,3,1) cベクトル=(3,5,2) について k・a

aベクトル=(1,2,1)
bベクトル=(2,3,1)
cベクトル=(3,5,2)
について
k・aベクトル+l・bベクトル+m・cベクトル=0ベクトル
になるのが
k+m=0
l+m=0
であり、この解がk=m,l=m,m=m (mは任意の実数)
となって
-m・aベクトル-m・bベクトル+m・cベクトル=0ベクトル
より、cベクトル=aベクトル+bベクトル
と参考書ではしていたのですが、なぜ
「k・aベクトル+l・bベクトル+m・cベクトル=0ベクトル」を考察することにより「cベクトル=aベクトル+bベクトル」という関係を見出すことができたのですか?

Aベストアンサー

> k・aベクトル+l・bベクトル+m・cベクトル=0ベクトル

この式の意味が解っているのですか?
0ベクトルってどういう状態?
例えば、原点からベクトルaでk倍動き、そこからベクトルbでl倍動き、そこからベクトルcで倍動いた、って事ですよね。
適当に図示して下さい。
それが0ベクトルになる。
どういう軌跡を描くでしょう?

この問題は、aベクトル+bベクトルを計算すると、=cベクトルになっちゃうところがミソというかオチです。
そんな難しいことを考察しなくても、丁度あなたがここに書いたベクトルの成分を、aとbで足してやればcになっている。
あなたのように縦に並べちゃうと問題にならない。きっと問題では横に並べていたでしょう。(笑)
つまり、たったこれだけの操作で見えてくることってあるんです。

Q単位円上に3点A,B,CがあったときOA↑+OB↑+OC↑=0↑ならば

中心を原点Oとする単位円上に3点A,B,Cがあったとき、

OA↑+OB↑+OC↑=0↑

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∠AOB=120度、∠BOC=120度、∠COA=120度

であることを示したいのですが、どうすればよいのでしょうか?

幾何学的(図形的)に考えれば、ほぼ自明のような気もしますが。

三角関数を用いれば、
cos(θ_1)+cos(θ_2)+cos(θ_3)=0,
sin(θ_1)+sin(θ_2)+sin(θ_3)=0
ならばcos(θ_1-θ_2)=cos(θ_2-θ_3)=-1/2
を示せばよいことになりますが。

複素数を用いれば、
e^(iθ_1)+e^(iθ_2)+e^(iθ_3)=0
ならばe^i(θ_1-θ_2)=e^i(θ_2-θ_3)=ω(ただし、ωは1の3乗根)
を示せばよいことになりますが。

Aベストアンサー

複素数を用いれば、
e^(iθ_1)+e^(iθ_2)+e^(iθ_3)=0
ならばe^i(θ_1-θ_2)=e^i(θ_2-θ_3)=ω(ただし、ωは1の3乗根)
を示せばよいことになりますが。
e^(iθ_1)+e^(iθ_2)+e^(iθ_3)=0
e^(iθ_1)で割って、
e^i(θ_2-θ_1)+e^i(θ_3-θ_1)=-1
これから第1項と第2項は共役(実部は-1/2なので、
cosを計算してもでる)
φ=θ_2-θ_1
とおくと、θ_3-θ_1=-φ
e^iφ+e^i(-φ)=-1
両辺にe^iφをかけて、
e^i2φ+1=-e^iφ
e^i2φ=-e^iφ-1
両辺にe^iφをかけて、
e^i3φ=e^iφ(-e^iφ-1)=-e^2iφ-e^iφ
=e^iφ+1-e^iφ=1
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→回答
(1)はとけました。 こたえはーu→+v→です。
(2)もとけました。
(3)がとけませんでした。

(3)の回答を教科書で確認したら、
BD・MN=(v→+2u→)・(3/2×U→ー1/2 ×v→)と式が出来てました。

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宜しくお願いします!!>_<

Aベストアンサー

MN→=BN→-BM→・・・(1)です。
MはADを1:1に内分するから、分点のベクトルの公式で
BM→=(BA→+BD→)/2・・・(2)
同様に、NはCDを1:1に内分するから、
BN→=(BC→+BD→)/2・・・(3)
(2),(3)を(1)に代入すると、
MN→=(BC→+BD→)/2-(BA→+BD→)/2
   =(BC→)/2-(BA→)/2
ここで、BC→=3u→、BA→=v→なので、
MN→=(3/2)u→-(1/2)v→  となります。

QA=([a,b],[c,d])に対し,A^2+xA+yE=0,E=([

A=([a,b],[c,d])に対し,A^2+xA+yE=0,E=([1,0],[0,1])となるx,yを求めよ。できるだけ詳しく教えてください。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

> x,yを求めよ。とあると,
> 文字を使わない数字で答えが出なければいけないと思ってるのですが

文字にも「既知量」の文字と「未知量」の文字があります。
今の場合、a, b, c, d が既知量の文字として与えられているので、
x = (a,b,c,d の式)
y = (a,b,c,d の式)
の形であらわせ、というのが、ここで求められていることです。

ちなみに k は問題文中にありません。 注意してください。
(alice_44さんの解答の意味を分かっていれば k を a,b,c,d に関係づけるのは簡単なことですが、ここにはあえて書きません。 自分で考えないと勉強にならないから。)

あと「初心者」ということですが、だったらケーリー・ハミルトンみたいな「教えてもらった便利な公式」に頼るのはそれこそ邪道であって、正直にA^2を計算して連立方程式に持ち込むべきでしょう。 しょせんxとyについての連立1次方程式なのですから。


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