log[4](x－1)＋log[4](4－x)＝log[4](a－x)･･･① とする。ただし、aは

log[4](x－1)＋log[4](4－x)＝log[4](a－x)･･･①
とする。ただし、aは実数。
これを解くのは1＜x＜4かつx＜aの範囲で
－x²＋6x－4＝a･･･②を解くのと同じことである。

（1）２次方程式②は、a=『ア』のとき重複x=『イ』もをつ。したがって、方程式①が、ただ１つの解をもつのはa=『ウ』または 『エ』＜a≦『オ』のときである

（2）a＝『オ』のとき、①の解はx＝『カ』である。
そのとき①の右辺の値は1/『キ』


この問題を教えてください！解説もおねがいします。

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/11/04 11:13

①を変形すると

log[4](x－1)(4－x)＝log[4](a－x)　←←←公式：logMN=logM+logN
で両辺とも４を底とする対数だから、真数同士の比較ができして
(x－1)(4－x)＝(a－x)
⇔－x²＋6x－4＝a・・・②
ただし、真数条件（真数>0)から
(x－1)>0,(4－x)>0⇔共通範囲1<x<4・・・③
(a－x)>0⇔x<a・・・④

これをふまえて②左辺をf(x)と置いて変形
f(x)=-(x-3)²+5
これを図にすると下のグラフ（③④からｘの範囲に注意⇒赤線から赤線までの間、かつ緑線より左の範囲で考える（各ライン上は考える範囲に含まれない）・・・⑤）
(1) グラフから　あい　に該当するのは青線と放物線の交点で
頂点(3,5)が交点だからa=5 x=3

また「あい」　の他に、一旦グラフの赤線から赤線の範囲で考えて　②が解1つ（交点1つ）となるためには　
1<a<4　（a=4から上（紫線から上）は交点2個となるのでa=4は含んでいない）
⇒この範囲内で緑線もスライドする
緑線との兼ね合いを考慮すると、緑線上はグラフを考える範囲には含まれないので
a=4としても⑤の範囲では放物線とy=aの交点は１個となるので
1<a≦4・・・えお
ちなみに　う＝５

(ただし、紫線、茶色線と放物線の交点は(1,1) (4,4)のy座標よりaの範囲が1<a<4とわかる）

(2)a=4のとき②に代入して
－x²＋6x－4＝4
⇔x²-6x+8＝0
⇔(x-4)(x-2)
x=2・・・か

このとき①右辺は
log[4](4－2)=log[4]2
=log[2]2/log[2]4・・・底の変換公式
=1/2