『ボヘミアン・ラプソディ』はなぜ人々を魅了したのか >>

定数a,bに対してf(x)=2x³-ax²+bxとし、
f(x)は0<x<1で極大値と極小値をもつ。
導関数f'(x)=6x²-2ax+bについて、f'(x)=0は
0<x<1で異なる二つの解を持つ。よってxが実数全体を動く時のf'(x)の最小値『ア』-a²/『イ』は負である

f'(x)が、最小値をとるxの値『ウ』/『エ』は0と1の間
また、f'(0)とf'(1)の値は『オ』
オ→0 ともに正
1 ともに負
2 一方が正、もう一方が負
3 ともに0
4 一方が0、もう一方が正
5 一方が0、もう一方が負

この問題の解説を教えてください!
よろしくお願いします。

A 回答 (3件)

いつも思うんだけれど、


この問題に解説が必要な時点で、基礎学力が全く無い、f(x)についてならまだしも、f'(x)、ただの二次関数について解説が必要なのだから、本当に基礎学力が全く無いんで、読んで解る解答解説付きの教材をやり直さないと、どうにもなりませんよ。
基礎の勉強をするときに、理解することは大事ですし、覚えるべきことを覚えることも大事です。
しかし、理解しました暗記しましたおしまい、だと、問題は解けないが、解答解説を読むと解ります、という状態にしかならないことがよくあります。
大学入試を考えているんですよね?違うんでしょうか?
大学入試でも高校の定期テストでも、求められているのは、解答解説を読めば理解できることでしょうか?それとも問題が解けることでしょうか?

y=6x²-2ax+b
この式を見て、考えることは大凡三通りです。

まず、x²の項の係数が正か負かです。正の場合は下に凸、負の場合は上に凸、という形状になります。

次に、因数分解っぽくする、y=p(x-q)(x-r)の形に持って行く。勿論q,rが整数だとは限りません。
これは、y=0、つまりx軸とそのグラフとが、x=q,rのときに交わる、x=q,rのときにy=0になる、ということを意味します。

次に、平方完成させる、y=p(x-s)²+tの形に持って行く。
これは、y=px²を、x方向にs、y方向にt、平行移動しただけの物です。
y=px²の頂点の座標は、当然原点ですから、平行移動した物の頂点は、(s,t)となります。
頂点が判ると、下に凸なら最小値が判るし、そのときのxも判ります。上に凸なら最大値。
更に言うと、二次方程式の解の公式は、この平方完成から導き出され、二次方程式の解がq,rなので、本当は因数分解よりこっちが優先なんですが。
更には、下に凸の場合、上は正の方向に無限大になるので、最小値が正であれば、グラフはx軸を跨がずにずっとyは正のままです。
x軸を跨がないということは、6x²-2ax+b=0となるxの実数解を持たない、ということになります。
強いて言うなら、その時は虚数解になるのです。
最小値が負の場合は、グラフはx軸と二点で交わります。6x²-2ax+b=0となるxの実数解は二つ。
じゃぁ、このグラフを、y軸の正方向に、ゆっくり引き上げて、平行移動させてみましょう。
平行移動前の二つの解をq,rとすると、6(x-q)(x-r)=0だったわけですが、平行移動させてやると(適当にグラフを描いてちゃんと見ながら考えること)、上に引き上げるにつれて、x軸との両交点の幅が、狭くなっていくでしょう。
6{x-(q+t)}{x-(r-t)}=0で(ただしq<r)、tが少しずつ増えているはずです。どのくらいの割合で、という難しいことは置いておいて。
ずーっと引き上げていくと、どこかでq+t=r-tになるでしょう。そこでグラフはy軸と接するはずです。
グラフがx軸と離れず、跨がず、接する場合は、このように、6(x-u)²=0、のような形で「重解します」。
その辺りの、
グラフがx軸と、二点で交わる、一点で接する、交わらない接しない、
y=0の実数解が、二つある、一つある(重解)、一つもない(虚数解)、
を見るのが、判別式Dです。
二次方程式の解の公式の、平方根の中身が判別式です。
平方根の中身が0であれば、~-b~±√~~の平方根の中身が無くなるので、解は~~±~と二通りにならず、重解するのです。これが接している状態。
平方根の中身が正であれば、~~±~と実数解が二つ生まれますので、これが二点で交わる状態。
平方根の中身が負になれば、~~±(~i~)と、虚数解になります。これがx軸とは接しない交わらない状態です。

という辺りを、理解するのは当然として、その手の問題がスラスラ解けるまで、基礎問題演習をまず繰り返して下さい。
たぶん理解しただけじゃできません。失敗しながら、何ができないのか、どこで手が止まるのか、失敗しながら問題点を洗い出して、それを埋めて下さい。
失敗しないようにガッチリ理解暗記するのが大事なのでは無く、失敗するところを洗い出した上で、失敗しながら修正していくことが重要です。
現状で三次式に手を広げても、二次式がちゃんとできないのだから、意味は無いのです。
今の勉強を改めない限り、テストでは何もできないということです。
勉強方法を間違えると、勉強していても何もできないのです。

元の三次式について少し触れておくと、
y=2x³-ax²+bxとすると、
=x(2x²-ax+b)
です。
x=0を代入したときに、y=0になる。つまり、原点を通る、ということです。
(2x²-ax+b)は二次関数ですので、解の公式を使うなりなんなりで、y=0となるxの値、解を出し交点を出し因数分解をし、とここでもスラスラできなければなりません。
y=2x³-ax²+bxのグラフは、x³の項の係数が正なので、基本的には左下から右上に抜けるような形状になります。
ただし、極値を二つ持つかどうか=上に凸と下に凸の二つの瘤があるか無いか、という話があります。
二つの瘤を持つ場合、その瘤とx軸との関係がどうなっているのか。
二つの瘤のyが大きい方(xが小さい方)よりx軸が更に上にあれば、三次式の実数解は一つ。
二つの瘤のyが小さい方(xが大きい方)よりx軸が更に下にあれば、三次式の実数解は一つ。
どちらかの瘤とx軸とが接していれば、接しているところで重解、三次式の実数解は二つ。
二つの瘤の間にx軸があれば、三次式の実数解は三つ。
瘤を二つ持たない場合、三次式の実数解は一つ。
となります。
瘤付きのグラフを描いてみて、x軸を鉛筆を横にして表し、それを上下させて、x軸とグラフとがどういう関係ならどうか、上記を読みながら具体的に目で見て下さい。
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f'(x)=0は


0<x<1で異なる二つの解を持つ 
⇒y=6x²-2ax+bのグラフが0<x<1の範囲で2回x軸と交わる
⇒f'(x)=6x²-2ax+bは X=0でプラス、その右で一旦マイナスになってX=1で再びプラスに代わる
⇒f'(0)>0
かつ、y=6x²-2ax+bのグラフの頂点のx座標が0と1の間にある
かつ、頂点のy座標がマイナス
かつ、f'(1)>0
⇒y=6x²-2ax+b
=6{x²-(a/3)x}+b
=6{x-(a/6)}²-a²/6+b から 頂点(a/6,-a²/6+b)だから
f'(0)=b>0・・・①
0<a/6<1・・・②
-a²/6+b<0・・・③
f'(1)=6-2a+b>0・・・④
この4条件の3番目から
b-a²/6<0・・・アイ

次に前述の事柄から
f'(x)が、最小値をとるxの値⇔頂点のx座標、『ウ』/『エ』=a/6、は0と1の間・・・(上記④条件の2番目)
オ⇒0 ・・・(上記①と④)

(ちなみに
定数a,bに対してf(x)=2x³-ax²+bxとし、
f(x)は0<x<1で極大値と極小値をもつ。
f(x)はx³の係数がプラスだから、そのグラフの概形はN字型になり、この場合の増減表はx=sで極大、x=tで極小(ただし0<s<t<1)として
x|・・・0・・・s・・・t・・・1・・・
f'| + + + 0 - 0 + + +
f|       極大  極小
となります。

このような増減表が書けるためには、
f'(x)=6x²-2ax+bは下に凸の放物線のグラフで,x=sとx=tでf'(x)=6x²-2ax+b=0となり、
x=sより左ではf'(x)=6x²-2ax+b>0 s<x<tではf'(x)=6x²-2ax+b<0 x=tより右ではf'(x)=6x²-2ax+b>0となる必要があります
⇒導関数f'(x)=6x²-2ax+bについて、
f'(x)=0は0<x<1で異なる二つの解を持つ となります。
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    • 0

f’(x)=6x²-2ax+b


=1/24 {144x²-48ax+24b}
=1/24 {(12x-2a)²-4a²+24b}
=(6x-a)²/6 +(b-a²/6)

『ア』 b 『イ』 6 『ウ』 a 『エ』 6

y=f’(x) のグラフは下に凸の放物線である。これが 0<x<1 の範囲で x 軸と 2箇所で交わるので、f’(0), f’(1) は共に正でなければならない。

『オ』 0
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y=ax²+bx+c
=a{x²+(b/a)x}+c
=a{x²+2(b/2a)x+(b/2a)²-(b/2a)²}+c
=a{(x+b/2a)²-(b/2a)²}+c
=a(x+b/2a)²-(b²/4a)+c
=a(x+b/2a)²-(b²-4ac)/4a
と一般的に平行完成できてしまうので、y=ax²+bx+cは、y=ax²を、x方向に-b/2a、y方向に-(b²-4ac)/4a平行移動した物、ということになり、
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角BAC=角BED・・・①(平行線の同位角は等しい)
角ABC=角EBD・・・②(共通)
となるから△ABC∽△EBD がいえます。
同様に△ABC∽△FDCも言えます。
そこで、本当にAE//FDでAF//EDであるか検証します。
ここで、一旦この問題から離れて紙に適当に2つの点を書いて直線で結んでみてください。
次に、この2点が重なるように紙を折ってから開いて、折り目と2点を結ぶ直線との関係をを見てください。
折り目は、2点を結ぶ線の垂直2等分線になっていますよね。(なぜそうなるかは、自分で考えてみてください。三角形の合同を考えれば分かるはず)
このことから、本問でも、EFはADの垂直2等分線となっています。
ADは角Aの2等分線ですから
ADとEFの交点をGとすれば△AEG合同△AFG(1つの辺とその両端の角がそれぞれ等しいから)となるので、EG=FGです。(下図を参考に)
また前述のようにEFはADの垂直2等分線ですから、AG=GDです。
⇒対角線が互いの中点で交わる四角形は平行四辺形ですから
AE//FDでAF//EDは確かなことであると分かります。
ゆえに、回答前半部分の事が言え△ABC∽△EBD 、△ABC∽△FDCと分かります。

説明は長いですが、自分の頭の中で考える場合はさほどに時間がかかりませんから、その点での心配はご無用です。慣れてくれば瞬殺かもしれません^-^

この問題に取り掛かる前に、相似の3条件を確認してください。
確認したらこの問題に掛かります。
相似条件のうち、辺の比について考えるのは少し難しそうです。
そこで、角度2つについて考えます。
図からAE//FDでAF//EDと推測でき、もしその通りなら平行線と角の性質から
角BAC=角BED・・・①(平行線の同位角は等しい)
角ABC=角EBD・・・②(共通)
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