「夫を成功」へ導く妻の秘訣 座談会

物理学・等速円運動の加速度についての質問です。

添付した画像に示した式の一番右の部分の
-r(dθ/ft)Λ2(cosθ,sinθ)
がどこから生じたのか全くわかりません
上記のベクトルvをtで微分すれば
rdΛ2θ/dtΛ2(-sinθ,cos
θ)になると思うのですが

-r(dθ/ft)Λ2(cosθ,sinθ)は
符号がマイナスでベクトル成分のsincosが逆→微分されている?
他のページにベクトルvについての式は見当たりませんし
関数の積の微分だとしても符号がおかしい?
何がなんだかわかりません。

「物理学 等速円運動の加速度について」の質問画像

質問者からの補足コメント

  • 画像がみづらくて申し訳ありません
    丸善出版の物理学1の45ページになりますので
    もしお持ちでしたらそちらを参照いただければと思います。

      補足日時:2018/11/06 12:18
  • ありがとうございます。
    たしかに合成関数の積分として計算すれば一致しいます。
    そうすると(-sinθ,cosθ)は関数ということになります

    x成分とy成分はたしかに引数θの関数ですが
    成分を()で示したものを関数として扱ってよいのでしょうか?

    No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2018/11/06 13:05

A 回答 (3件)

>x成分とy成分はたしかに引数θの関数ですが


>成分を()で示したものを関数として扱ってよいのでしょうか

べクトルを返す関数です。これをF(θ)とするとその微分係数は
dF(θ)/dθ=limⅠΔθ→0]{f F(θ+Δθ)-F(θ)}/Δθ
と定義出来ます。スカラー関数と同じで、成分毎にスカラー関数の
微分と同じやり方が使えます。
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この回答へのお礼

ご丁寧な回答ありがとうございました。

お礼日時:2018/11/06 14:07

定理:dx/dt=(dx/dθ)・(dθ/dt)を利用


rの位置ベクトルについて
(x,y)=(rcosθ,tsinθ)であるから
x=rcosθ
dx/dθ=-rsinθ で
dx/dt=(dx/dθ)・(dθ/dt)
=-rsinθ・(dθ/dt) ←←←vのx成分
dθ/dtをθ'とでもしておけば
dx/dt=-rsinθ・θ'・・・① となりますよね

次に
定理y=fgならばy'=f'g+fg'を利用して
①をもう一度tで微分
(d/dt) (-rsinθ・θ')
={(d/dt)(-rsinθ)}・θ'+[-rsinθ・{(d/dt)θ'}]  ←←←fに-rsinθを、gにθ'を当てはめた
=-rcosθ・dθ/dt・θ'+[-rsinθ・θ''] 
=-rcosθ・dθ/dt・dθ/dt+[-rsinθ・θ'']
  ↑
 マーカー部

画像とは式の順番が前後していますがこんな感じです。
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

お礼日時:2018/11/06 14:08

x成分だけやってみると


vx=-r(dθ/dt)sinθ
は良いですよね。これをtで微分すると、積の微分と「合成関数の微分」から
dvx/dt=-r(d(dθ/dt)dt)sinθ-r(dθ/dt)(d sinθ/dt)
=-r(d^2θ/dt^2)sinθ-r(dθ/dt)cosθ(dθ/dt)
=-r(d^2θ/dt^2)sinθ-r(dθ/dt)^2cosθ

なので教科書は合ってますよ。
この回答への補足あり
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Aベストアンサー

d²θ/dt²=Axsinθ/√{1+x²-2xcosθ}³__①
d²θ/dt²=Axsinθ/√{1+x²}³
初期条件t=0で、θ=π/2,dθ/dt=0

(dθ/dt)²をtで微分すると
(d/dt)((dθ/dt)²)=2(dθ/dt) d²θ/dt²__②
②の右辺に①を入れると
(d/dt)((dθ/dt)²)=2(dθ/dt)Axsinθ/√{1+x²-2xcosθ}³__③
③を積分すると
(dθ/dt)²=∫dt 2(dθ/dt) Axsinθ/√{1+x²-2xcosθ}³
=∫2dθAxsinθ/√{1+x²-2xcosθ}³__④
cosθ=u__⑤
と置いて、置換積分を行う。⑤を微分すると-sinθdθ=duとなるから、④は⑥となる。
(dθ/dt)²=-∫2duAx/√{1+x²-2xu}³__⑥
=-2A/√(1+x²-2xu)+C=-2A/√(1+x²-2x cosθ)+C__⑦
Cは積分定数である。
⑦に初期条件を入れると、t=0でθ=π/2,cosθ=0,dθ/dt=0だから
0=-2A/√(1+x²)+C
C=2A/√(1+x²)__⑧
⑦は⑨となり、dθ/dtは式⑩となる。
(dθ/dt)²=-2A/√(1+x²-2x cosθ)+ 2A/√(1+x²) ,dθ/dt=Ax/√{1+x²}³・t
=-2A{1/√(1+x²-2x cosθ)-1/√(1+x²)}__⑨
dθ/dt=√(-2A)√{1/√(1+x²-2x cosθ)-1/√(1+x²)}__⑩
式⑩は変数分離型の1階微分方程式だから
dθ/√{1/√(1+x²-2x cosθ)-1/√(1+x²)}=√(-2A)dt__⑪
これを積分すると
∫dθ/√{1/√(1+x²-2x cosθ)-1/√(1+x²)}=∫√(-2A)dt=√(-2A)(t+c)__⑫
cは積分定数である。初期条件を入れると、c=0である。
左辺の∫dθ/√{1/√(1+x²-2x cosθ)-1/√(1+x²)}を解析的に積分することができないので、数値積分が必要になるが、もとの2階微分の式より簡単化されている。
t=0のとき、積分の中が1/0=∞となるので、もう少し解析が必要である。

∫dθ/√{1/√(1+x²-2x cosθ)-1/√(1+x²) =√(-2A)t__⑫
この式の両辺に√xを掛けた⑬を⑭のように書くと⑮⑯である。
∫dθ√x /√{1/√(1+x²-2x cosθ)-1/√(1+x²)}=√(-2Ax)t__⑬
∫dθ/ f(θ,x)=s__⑭
f(θ,x)=√{1/√(1+x²-2x cosθ)-1/√(1+x²)}/√x__⑮
s=√(-2Ax)t__⑯
t=0のとき、θ=π/2,cosθ=0,f(θ, x)=0となるから、式⑭は0で割る割り算になり、使えない。
f(θ, x)≒0のときの近似解を調べる必要がある。そこでf(θ,x)_⑮を変形する。
f(θ,x)=√{1/√(1+x²-2x cosθ)-1/√(1+x²)}/√x  { }の中を通分する。
=√{√(1+x²)-√(1+x²-2x cosθ)/√(1+x²-2x cosθ)√(1+x²)√x }
右辺√の中の分子と分母に{√(1+x²) +√(1+x²-2x cosθ)}をかけると、xで約分できる。
=√{2cosθ/√(1+x²-2x cosθ)√(1+x²){√(1+x²) +√(1+x²-2x cosθ)}}
=√{2cosθ/{(1+x²)√(1+x²-2x cosθ)+(1+x²-2x cosθ)√(1+x²)}__⑰
t≒0のとき、θ≒π/2,cosθ≒0で、f(θ,x)≒0となるので、⑰の分母にcosθ=0を入れて
f(θ,x)の近似式を作ると、
f(θ,x)≒√{2cosθ/{(1+x²)√(1+x²)+(1+x²)√(1+x²)}
≒√{cosθ/(1+x²)^(3/2)}__⑱
∫dθ/ f(θ,x)≒(1+x²)^(3/4)∫dθ/√(cosθ)__⑲
この近似式も解析的に積分できないので、さらに近似して、⑳とすると近似解が求められる。
cosθ=sin(π/2-θ)≒π/2-θ__⑳
これを使うと
∫dθ/ f(θ,x)≒(1+x²)^(3/4)∫dθ/√(π/2-θ)
=-(1+x²)^(3/4)・2√(π/2-θ)__㉑
これを⑭に入れると、t≒0のときの近似解㉒を得る。
-(1+x²)^(3/4)・2√(π/2-θ)=s=√(-2Ax)t__㉒
θについて解く。
2√(π/2-θ)=-(1+x²)^(-3/4)・√(-2Ax)t
両辺を二乗すると
4(π/2-θ)= (1+x²)^(-3/2)・(-2Ax)t²
π/2-θ= (1+x²)^(-3/2)・(-Ax/2)t²
θ=π/2+(1+x²)^(-3/2)・(Ax/2)t²__㉓
これがθの近似解である。
㉓を①に入れて、近似解であることを確かめる。
d²θ/dt²=Axsinθ/√{1+x²-2xcosθ}³_①
左辺= (1+x²)^(-3/2)・(Ax)__㉔
t≒0のとき、θ≒π/2、sinθ≒1、cosθ≒0
右辺=Axsinθ/√{1+x²-2xcosθ}³=Ax /√{1+x²}³=左辺で成立する。
これで安心して数値積分ができそうだ。

d²θ/dt²=Axsinθ/√{1+x²-2xcosθ}³__①
d²θ/dt²=Axsinθ/√{1+x²}³
初期条件t=0で、θ=π/2,dθ/dt=0

(dθ/dt)²をtで微分すると
(d/dt)((dθ/dt)²)=2(dθ/dt) d²θ/dt²__②
②の右辺に①を入れると
(d/dt)((dθ/dt)²)=2(dθ/dt)Axsinθ/√{1+x²-2xcosθ}³__③
③を積分すると
(dθ/dt)²=∫dt 2(dθ/dt) Axsinθ/√{1+x²-2xcosθ}³
=∫2dθAxsinθ/√{1+x²-2xcosθ}³__④
cosθ=u__⑤
と置いて、置換積分を行う。⑤を微分すると-sinθdθ=duとなるから、④は⑥となる。
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重力加速度の実験に関しては加速度の単位を設定してから実験して、グラフから9.8m/s^2と導いたのか気になります。

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①法則はどうやって出来たのか?

F=ma が最終的にどうやってたどり着いたのかはわかりませんが、一般的には、

F*t 力とかけた時間で、
m*v 物体のもつ勢いみたいなものが生じる

とすれば、

Ft=mv
F=mv/t
= ma

のように不変化したのではないか?・・・って言いますね。(実際には、微分ですが簡潔にして・・・)
まあいずれにせよ、思考過程は、型になったプロセスではなく、思いつきだったり、思考の飛躍だったり、積み上げてたどり着いたりいろいろです。

思いつけば、実験をして確かめる・・・ってこともあるし、
実験がさきにあって、それを示す式を、知恵を絞って考える・・・ってこともある。

さまざなな人の努力の結果です。

②単位

まず、法則があろうとなかろうと、速度や、加速度は、定義がそのまま単位になる。
一方で、物理法則の結果、法則ができたら、すでにわかっている、時間、距離、速度、加速度などをあてはめ、新しい物理量の単位を想定し、
それが複雑なら、新しい定数で変換して、シンプルに数字を扱えるように単位を定めるってだけのことかと。単位はあくまでテクニック。
先に単位を決めることはなくって、法則がわかって、単位を割り当てるってこと。

ただ、今は、いろいろな単位がわかっているため、未知の法則を導き出すために、単位を比べて、辻褄をあわせ、単位から、法則を導くこともあります・・・・

>重力加速度の実験に関しては加速度の単位を設定してから実験して、グラフから9.8m/s^2と導いたのか気になります。

ちなみに、重力加速度・・・と言っている時点で

・ 万有引力の法則
・ 運動方程式

から、
・ 重力加速度は常に一定
・ 重力=質量*重力加速度

てことがすでにわかっているってことですね。なので、あとは、ものを落として、加速度を計測すれば、数値が出ますね。

①法則はどうやって出来たのか?

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F*t 力とかけた時間で、
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とすれば、

Ft=mv
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のように不変化したのではないか?・・・って言いますね。(実際には、微分ですが簡潔にして・・・)
まあいずれにせよ、思考過程は、型になったプロセスではなく、思いつきだったり、思考の飛躍だったり、積み上げてたどり着いたりいろいろです。

思いつけば、実験をして確かめる・...続きを読む

Qkg定義改定で、日本は何をしたのですか?

キログラムの定義改定が決まったというニュースを読みました。
ニュースの中で、「日本が総合力で優れているという証しだ」というコメントが紹介されていました。
けれど、日本が何をしたのかが書かれていません。
日本は何をしたのでしょうか?

Aベストアンサー

ここに解説されてるよ

https://www.aist.go.jp/aist_j/press_release/pr2017/pr20171024/pr20171024.html

思いっきりざっくりすれば、ナノメートル単位の測定を安定的に確実に行える技術を確立した


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