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問) 4点O(0,0,0)、A(1,2,0)、B(2,0,-1)、C(0,-2,4)を頂点とする四面体OABCについて考える。

(1)頂点Oから平面ABCに垂線OHを下ろしたとき、点Hの座標を求めよ。

(2)→OHの大きさを求めよ。(→はベクトルです)

(3)△ABCの面積を求めよ。また、四面体OABCの体積を求めよ。

解説お願いします。

gooドクター

A 回答 (3件)

ベクトルの矢印は省略


OH=(x,y,z)とする
AB=(1,-2,-1)
BC=(-2,-2,5)
CA=(1,4,-4)
垂直なベクトル同士の内積=0 から
OH・AB=(x-2y-z)=0
OH・BC=0
OH・CA=0
⇒変数3つの式が3つ出来たのでこれを解けばx,y,zが求まるはずです。
Hの座標は(x,y,z)

(2) |OH|²=x²+y²+z² より
|OH|=√(x²+y²+z²) に
(1)の結果を代入します

(3) △ABC=(1/2)|AB||AC|sinA ←←←AB,ACはベクトル
=(1/2)√(|AB|²|AC|²sin²A)
=(1/2)√{|AB|²|AC|²(1-cos²A)}
=(1/2)√{|AB|²|AC|²-(|AB||AC|cosA)²}
=(1/2)√{|AB|²|AC|²-(AB・AC)²}
            ↑内積
より 面積に関する準公式 :△ABC==(1/2)√{|AB|²|AC|²-(AB・AC)²}が導かれるのでこれを知っていると便利です。
この準公式に(1)で求めた各ベクトルの成分を当てはめれば、比較的簡単に△ABCの面積が求まることでしょう!

次に 前述の結果を用いて
 四面体の体積=底面積x高さx(1/3)=△ABC・|OH|・(1/3) を計算すれば 答えが出るはずです。
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この回答へのお礼

ありがとうこざいます!
助かりました!!

お礼日時:2018/11/07 17:28

あなたが、一般の質問者で、この問題を質問していると仮定して、解説します。

だから公式をご理解の上での回答です。
以下のようになります。(1)(2)(3)をまとめて解説しますね。

1 3点ABCを含む平面αに垂直なベクトルを求めるため
  →BC=(-2 -2 5)と→BA=(-1 2 1) から 外積を求めて
  (→BC)×(→BA)=(-12 -3 -6)=ー3(4 1 2)…③
  より平面の法線ベクトルの一つとして(4 1 2)…① が見つかります。

2 続いて 3点ABCを含む平面α の方程式を求めましょう。4×4の行列式を作って、それを計算して
  [x  y  z  1]
  [1  2  0  1]
  [2  0  -1  1]=0
  [0  -2  4  1]

   ∴ 4x+y+2z-6=0…② と求まります。(平面の方程式は三点A,B,Cを通って①に垂直な平面として解くこともできます。)

3 方向ベクトルが①で原点を通る直線の方程式は
  x/4=y/1=z/2ですからkと置いて X=4k,y=k,z=2kを②に代入すればHの座標が求まります
  H(8/7,2/7,4/7)  当然|→OH|=(2√21)/7で求まります。
4 △ABCの面積SはNO2のmast・・さんのパクリで
   S=(1/2)[√{(→BC)×(→BA))^2-(→BC,→BA)^2}]で求まりますが
   ③を使えば
   S=(1/2)|(→BC)×(→BA)|=(3/2)√(21)
5 4面体OABCの体積Vなど
       |[0 -2 4]|
   V=1/6|[2 0 1]| =3
      |[1 2 0]|

 と簡単に求まります。いったいどこを解説したらよいのでしょうか。
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この回答へのお礼

ありがとうこざいます!

お礼日時:2018/11/07 17:29

どこがわからないんでしょうか?

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