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問) 4点O(0,0,0)、A(1,2,0)、B(2,0,-1)、C(0,-2,4)を頂点とする四面体OABCについて考える。

(1)頂点Oから平面ABCに垂線OHを下ろしたとき、点Hの座標を求めよ。

(2)→OHの大きさを求めよ。(→はベクトルです)

(3)△ABCの面積を求めよ。また、四面体OABCの体積を求めよ。

解説お願いします。

A 回答 (3件)

ベクトルの矢印は省略


OH=(x,y,z)とする
AB=(1,-2,-1)
BC=(-2,-2,5)
CA=(1,4,-4)
垂直なベクトル同士の内積=0 から
OH・AB=(x-2y-z)=0
OH・BC=0
OH・CA=0
⇒変数3つの式が3つ出来たのでこれを解けばx,y,zが求まるはずです。
Hの座標は(x,y,z)

(2) |OH|²=x²+y²+z² より
|OH|=√(x²+y²+z²) に
(1)の結果を代入します

(3) △ABC=(1/2)|AB||AC|sinA ←←←AB,ACはベクトル
=(1/2)√(|AB|²|AC|²sin²A)
=(1/2)√{|AB|²|AC|²(1-cos²A)}
=(1/2)√{|AB|²|AC|²-(|AB||AC|cosA)²}
=(1/2)√{|AB|²|AC|²-(AB・AC)²}
            ↑内積
より 面積に関する準公式 :△ABC==(1/2)√{|AB|²|AC|²-(AB・AC)²}が導かれるのでこれを知っていると便利です。
この準公式に(1)で求めた各ベクトルの成分を当てはめれば、比較的簡単に△ABCの面積が求まることでしょう!

次に 前述の結果を用いて
 四面体の体積=底面積x高さx(1/3)=△ABC・|OH|・(1/3) を計算すれば 答えが出るはずです。
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この回答へのお礼

ありがとうこざいます!
助かりました!!

お礼日時:2018/11/07 17:28

あなたが、一般の質問者で、この問題を質問していると仮定して、解説します。

だから公式をご理解の上での回答です。
以下のようになります。(1)(2)(3)をまとめて解説しますね。

1 3点ABCを含む平面αに垂直なベクトルを求めるため
  →BC=(-2 -2 5)と→BA=(-1 2 1) から 外積を求めて
  (→BC)×(→BA)=(-12 -3 -6)=ー3(4 1 2)…③
  より平面の法線ベクトルの一つとして(4 1 2)…① が見つかります。

2 続いて 3点ABCを含む平面α の方程式を求めましょう。4×4の行列式を作って、それを計算して
  [x  y  z  1]
  [1  2  0  1]
  [2  0  -1  1]=0
  [0  -2  4  1]

   ∴ 4x+y+2z-6=0…② と求まります。(平面の方程式は三点A,B,Cを通って①に垂直な平面として解くこともできます。)

3 方向ベクトルが①で原点を通る直線の方程式は
  x/4=y/1=z/2ですからkと置いて X=4k,y=k,z=2kを②に代入すればHの座標が求まります
  H(8/7,2/7,4/7)  当然|→OH|=(2√21)/7で求まります。
4 △ABCの面積SはNO2のmast・・さんのパクリで
   S=(1/2)[√{(→BC)×(→BA))^2-(→BC,→BA)^2}]で求まりますが
   ③を使えば
   S=(1/2)|(→BC)×(→BA)|=(3/2)√(21)
5 4面体OABCの体積Vなど
       |[0 -2 4]|
   V=1/6|[2 0 1]| =3
      |[1 2 0]|

 と簡単に求まります。いったいどこを解説したらよいのでしょうか。
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この回答へのお礼

ありがとうこざいます!

お礼日時:2018/11/07 17:29

どこがわからないんでしょうか?

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つまり、「最後の一手で場合分け」がわかりよいのに、わざわざ(わかりにくい?)「最初の一手で場合分け」するのはどういう場合なんでしょうか?

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Aベストアンサー

問題を、他人の言葉を使うのではなく,自分の言葉を使って他人に伝えることができれば、その問題は半分解決できるようなものだという警句があります。

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数学III 複素数の問題です。

複素数平面を利用して点(5,5)を直線y=2xに関して対称に移動した点の座標を求めよ。

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解答を見ても良く理解できませんでした。
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宜しくお願いします。

Aベストアンサー

複素数平面を利用して点(5,5)を直線y=2xに関して対称に移動した点の座標を求めよ。

複素数を利用して計算する。
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Bは直線y=2xの上にあるから、Bのx座標5-2kとy座標5+kは
y=5+k=2(5-2k)
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Q数列について。

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(1)x+y≦nを満たす点(x、y)の個数
(2)(1/2)+y≦nを満たす点(x、y)の個数
教えていただけると幸いです。

Aベストアンサー

(1)
点O(0,0)、点A(n,0)、点B(0,n)、点C(n,n)とすると
求めるのは△OABの内部及び周上の格子点の数

これを
四角形OACBの内部及び周上の格子点の数=h
線分AB上の格子点の数=i
を使って表すと
((h-i)/2)+i=(h+i)/2

h=(n+1)^2、i=n+1 より(n+1)(n+2)/2

(2) (1/2)x+y≦n が与えられた条件でタイプミスでxが消えたと考えています
(1)と同様に
点O(0,0)、点A(2n,0)、点B(0,n)、点C(2n,n)とすると
同様の考え方で
h=(n+1)(2n+1)
i=n+1
(h+i)/2 = (n+1)^2

Qベクトルについて。

各辺の長さが1で底面ABCDが正方形である四角錐O-ABCDがある。辺OBの中点をP、辺ODをt:(1-t) (0<t<1)に内分する点をQとし、平面APQと辺OCの交点 をRとする。 (1)↑ARを↑AP、↑AQ、tを用いて表せ。
(2)四角形APRQの面積をtで表せ。
教えていただけると幸いです。

Aベストアンサー

(1)
基準点と3つの基本ベクトルを適切に定める(解答者任意)
定める例
点OとOA↑,OB↑,OD↑
点AとAO↑,AB↑,AD↑
四角形ABCDの中心(点Hと呼ぶ)とHA↑,HB↑,HO↑

AP↑、AQ↑を上で定めた基本ベクトルで表す

AR↑を(解答者任意に定める文字3つを使って)2つの方法で基本ベクトルで表す
表し方1:文字1つ:点RはOC上の点
表し方2:文字2つ:点Rは3つの点A,P,Qで定まる平面上にある

同じベクトルの基本ベクトルによる表し方は同じ基本ベクトルの係数が同じになるから
連立方程式(3つの方程式)ができるので、解答者が定めた3つの文字が t で表せる

表し方2を t で書いて終了

(2) うまいやり方が思いつかなかったので地道に

一般論 △ABCの面積は、AB↑,AC↑の大きさと内積が計算できれば求められます
(計算が面倒)

この問題 (1)で考えた基本ベクトルの和で各点は表せるのでベクトルの大きさと内積は計算できます

解き方1(面倒な計算が2回)
四角形を2つの三角形に分解して面積を合計

解き方2(面倒な計算が1回)
(1)の結果よりAP'↑=2*AP↑ となる点P'を考えると
四角形APRQの面積は△AP'Q の面積から△PP'Rの面積を引けば求められて
△AP'Qと△PP'Rの面積比が t を使った比で表せることから△AP'Qの面積を求めて比を使って四角形の面積を計算

(1)
基準点と3つの基本ベクトルを適切に定める(解答者任意)
定める例
点OとOA↑,OB↑,OD↑
点AとAO↑,AB↑,AD↑
四角形ABCDの中心(点Hと呼ぶ)とHA↑,HB↑,HO↑

AP↑、AQ↑を上で定めた基本ベクトルで表す

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表し方1:文字1つ:点RはOC上の点
表し方2:文字2つ:点Rは3つの点A,P,Qで定まる平面上にある

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Aベストアンサー

普通に分配法則で...
(A∪C)×(B∪D)
={A×(B∪D)}∪{C×(B∪D)}
=(A×B)∪(A×D)∪(C×B)∪(C×D)
={(A×B)∪(C×D)}∪{(A×D)∪(C×B)}
⊃(A×B)∪(C×D)

Q数学的帰納法の不等式

1+1/2+1/3+…+1/n<2√n (nは自然数)の証明です

n=1とn=kまではすんなりいけたのですが
n=k+1のとき、右辺が2√n+ 1/n+1となるので、
2√n+ 1/n+1<2√k+1を証明できれば、この証明は終了します
しかし、上記の不等式を変形する答えを見るとなかなかどうして思い浮かばない変形なのです

そこで、簡単で画期的な不等式の変形方法はないでしょうかという質問をさせて頂きます

よろしくお願いいたします

Aベストアンサー

4(k+1)-4(1/(√(k+1)))+(1/(k+1)^2) = 4k+4(1-(1/(√(k+1))))+(1/(k+1))^2

1項目 4k
2項目 正
3項目 正

Qベクトルについて。

すみません。マルチポストです。
各辺の長さが1で底面ABCDが正方形である四角錐O-ABCDがある。辺OBの中点をP、辺ODをt:(1-t) (0<t<1)に内分する点をQとし、平面APQと辺OCの交点 をRとする。 (1)↑ARを↑AP、↑AQ、tを用いて表せ。
(2)四角形APRQの面積をtで表せ。
教えていただけると幸いです。
で、
(1)
基準点と3つの基本ベクトルを適切に定める(解答者任意)
定める例
点OとOA↑,OB↑,OD↑
点AとAO↑,AB↑,AD↑
四角形ABCDの中心(点Hと呼ぶ)とHA↑,HB↑,HO↑

AP↑、AQ↑を上で定めた基本ベクトルで表す

AR↑を(解答者任意に定める文字3つを使って)2つの方法で基本ベクトルで表す
表し方1:文字1つ:点RはOC上の点
表し方2:文字2つ:点Rは3つの点A,P,Qで定まる平面上にある

同じベクトルの基本ベクトルによる表し方は同じ基本ベクトルの係数が同じになるから
連立方程式(3つの方程式)ができるので、解答者が定めた3つの文字が t で表せる

表し方2を t で書いて終了

(2) うまいやり方が思いつかなかったので地道に

一般論 △ABCの面積は、AB↑,AC↑の大きさと内積が計算できれば求められます
(計算が面倒)

この問題 (1)で考えた基本ベクトルの和で各点は表せるのでベクトルの大きさと内積は計算できます

解き方1(面倒な計算が2回)
四角形を2つの三角形に分解して面積を合計

解き方2(面倒な計算が1回)
(1)の結果よりAP'↑=2*AP↑ となる点P'を考えると
四角形APRQの面積は△AP'Q の面積から△PP'Rの面積を引けば求められて
△AP'Qと△PP'Rの面積比が t を使った比で表せることから△AP'Qの面積を求めて比を使って四角形の面積を計算
教えていただけると幸いです。本当にすみません。
解き方2を詳しく教えていただけないでしょうか?

すみません。マルチポストです。
各辺の長さが1で底面ABCDが正方形である四角錐O-ABCDがある。辺OBの中点をP、辺ODをt:(1-t) (0<t<1)に内分する点をQとし、平面APQと辺OCの交点 をRとする。 (1)↑ARを↑AP、↑AQ、tを用いて表せ。
(2)四角形APRQの面積をtで表せ。
教えていただけると幸いです。
で、
(1)
基準点と3つの基本ベクトルを適切に定める(解答者任意)
定める例
点OとOA↑,OB↑,OD↑
点AとAO↑,AB↑,AD↑
四角形ABCDの中心(点Hと呼ぶ)とHA↑,HB↑,HO↑

AP↑、AQ↑を上で定めた基本ベクトルで表す
...続きを読む

Aベストアンサー

本当に自力で解くつもりがあるのならお助けしたいと考えておりますので準備として
次の5つを示してください

①(一般論)△ABCの面積をAB↑、AC↑で計算する式

②(この問題について)AQ↑、AP↑を
HA↑=a↑、HB↑=b↑、HO↑=o↑を使って表した式
点Hを正方形ABCDの対角線の交点として

③(この問題)点Rは線分QP'をどのように内分しているか
点P'はAP'↑=2*AP↑を満たす点として

④(この問題)△AP'Qの面積をSとしたときの△PP'Rの面積、四角形APRQの面積を表す式(Sとtで)

⑤(この問題)(1)の答

Q確率について。

次の問題がわかりません。教えていただけると幸いです。大変恐縮ですが。
http://www2.ezbbs.net/cgi/reply?id=dslender&dd=07&re=60499

Aベストアンサー

2個だけ同じ
4つの目が、組合せで、aabc のパターン a≠b, a≠c, b≠c

組合せの数は、
aの選び方が6, それぞれにbcの選び方が 5C2=10 だから 6*10=60 通り

別の考え方で a < b < c として、abcの選び方が 6C3=20 通りで
aabc, abbc, abcc の3パターンあるので 3*20=60 通り

aabc の場合
 中央値=平均値となる条件は a+b = a+c、b < c より中央値=平均値とはならない
abcc の場合も同様に、中央値=平均値とならない

abbcの場合、a+c=2b で中央値=平均値となる

20パターンの書き出しとチェックはご自分で

Q角の二等分線と、ベクトルについて。

角の二等分線の定理を、ベクトルを用いて証明してください。
教えていただけると幸いです。

Aベストアンサー

新しい画像は、#2の画像のBとCを入れ替えたものです。これでAB>ACに変わりました。
BとCを入れ替えただけなので、
「↑AD=k(↑AF)         
↑AD=(1-t)(↑AB)+t(↑AC) ・・・①  
と表せるものとすると
↑AF=↑AB+↑AE
=↑AB+(AE/AC)(↑AC)であるから
↑AD=k(↑AB)+k(AE/AC)(↑AC)・・・②
ここで、↑AB,↑ACは1次独立だから、↑ADは↑ABと↑ACを用いてただ1通りに表わされるので①②の↑ABと↑ACの係数を比較して
1-t=k・・・③
t=k(AE/AC)・・・④
③を④に代入
t=(1-t)(AE/AC)
⇔t=AE/(AE+AC)
AE=ABだから
t=AB/(AB+AC)
1-t=1-AB/(AB+AC)=AC/(AB+AC)
よって
BD:CD=t:1-t=AB/(AB+AC):AC/(AB+AC)=AB:AC」
という#2の証明で、機械的にBとCを入れ替えればAB>ACのときの証明ができることになります。

すなわち
「↑AD=k(↑AF)         
↑AD=(1-t)(↑AC)+t(↑AB) ・・・①  
と表せるものとすると
↑AF=↑AC+↑AE
=↑AC+(AE/AB)(↑AB)であるから
↑AD=k(↑AC)+k(AE/AB)(↑AB)・・・②



というようにBとCを入れ替えていけば良いです。
繰り返しになりますが、実際、回答欄にはAB>ACの場合も同様
としておけばよいです。

新しい画像は、#2の画像のBとCを入れ替えたものです。これでAB>ACに変わりました。
BとCを入れ替えただけなので、
「↑AD=k(↑AF)         
↑AD=(1-t)(↑AB)+t(↑AC) ・・・①  
と表せるものとすると
↑AF=↑AB+↑AE
=↑AB+(AE/AC)(↑AC)であるから
↑AD=k(↑AB)+k(AE/AC)(↑AC)・・・②
ここで、↑AB,↑ACは1次独立だから、↑ADは↑ABと↑ACを用いてただ1通りに表わされるので①②の↑ABと↑ACの係数を比較して
1-t=k・・・③
t=k(AE/AC)・・・④
③を④に代入
t=(1-t)(AE/AC)
⇔t=AE/(AE+AC)
AE=ABだから
t=AB/(AB+AC)
1-t=1-...続きを読む

Q数学 問題 複素数

画像の問題の2番が分かりません
助けてください
一番はα/βを一つの複素数とみて考えたら円が出てきました

Aベストアンサー

(2)
条件から-π/2<argβ-argα<π/2、したがって
-π/2<arg(β/α)<π/2、が出てきます。
α、βともに0でないのでこれはz=β/αが複素平面の虚軸の右側
を動くということです。そこで問題は
w=(3+4i+z)/(1+z) のzが複素平面の虚軸の右側を動くとき
wの存在する範囲を求めるということになります。
上の式から
w-1=(2+4i)/(1+z)、ここでz=x+yiとおいて
w-1の実数、虚数部分をそれぞれu、vとすれば
u=2(X+2y)/(X²+y²)、v=2(2X-y)/(X²+y²)、
ただし、X=x+1としています。
この2式から
X=(2u+4v)/(u²+v²)がでてきてx>0よりX>1
これから
(u-1)²+(v-2)²<5 が導かれます。
つまり
w-1は1+2iを中心とする半径√5の円内を
したがって
wは2+2i中心、半径√5の円内が存在範囲になります。


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