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99の(1)解いてください 途中の計算もお願いします

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  • 質問者：おしえてgoo
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99の(1)解いてください
途中の計算もお願いします

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A 回答 (1件)

No.1

  • 回答者： Dr-Field
  • 回答日時：

∫(0～x) f(t)dt＝(x+1)f(x)－x


両辺をxで微分する。
f(x)＝f(x)＋(x＋1)･f'(x)－1
(x＋1)･f'(x)＝1
f'(x)＝1／(x＋1)
f(x)＝log(x＋1)＋C（Cは積分定数）

逆に、∫ {log(t＋1)}dt＝(t+1)・log(t+1)－(t＋1)＋C より、
{(x+1)・log(x+1)－(x＋1)}－{(0+1)・log(1)－(0＋1)}
＝(x+1)・log(x+1)－x－1＋1
＝(x+1)・log(x+1)－x
＝(x+1)・f(x)－x
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