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微分方程式について質問です。
画像の微分方程式が解けなくて困っています。
x,Aは定数です。

こちらにも問題を書くと、
(d/dt)^2*θ=A*x*sinθ/(1+x^2-2*x*cosθ)^(3/2)
初期条件: t=0 で θ=π/2, dθ/dt=0

です。

ヒントでもいいですので、どなたかわかる方いらっしゃいましたら教えていただけると幸いです。

「微分方程式について質問です。 画像の微分」の質問画像

A 回答 (1件)

ヒントだけ差し上げます。

右辺はルジャンドルの多項式の母関数の微分になっていますので、そのあたりを使って積分できると思います。

ただし、そんな高度な特殊関数を知らない場合でも、次の様な変換を施せば積分が簡単にできる微分方程式に変換できます。

まず、貴方の微分方程式を

(0) (d^2 θ/ dt^2)=xAf(cosθ)sinθ

と書いて、f(cosθ)を貴方の書いた分母を含んだcosθの関数とします。次に、

(1) y=dθ/dt, s=cosθ

とおけば、

(2) ds/dt = (ds/dθ)(dθ/dt) = (-sinθ) (dθ/dt) = (-sinθ)y

と書けるので、(2)を使って、

(3) dy/ds = (dy/dt)(dt/ds) = (dy/dt)(-1/(ysinθ) )

と書ける。これに(1)の左の式を使うと、

(4) dy/ds = - (d^2 θ/ dt^2)(1/ (ysinθ) )

となる。そこで(d^2 θ/ dt^2)に (0)を代入し、(1)の右の式を使うと、

(5) dy/ds =- XAf(s)/y

となります。そこで、この式より

(6) -ydy= xAf(s) ds

が得られます。このり両辺を積分すれば、貴方の望みの解が得られます。

ところで、

(7) g(s) =A/(1+x^2 -2xs)^(1/2)

とおけば、

(8) dg/ds = A f(s)

なので、 (6)式はさらに簡単になり、

(9) -ydy =A dg(s)

となるので、積分がさらに簡単になります。

ざっと計算したので、上記の式の符号や係数に誤りがあるかもしれません。ご自分で確認しながら計算してください。たとへその様な誤りがあっても、計算の流れは同じなので、この微分方程式の解は求まります。
境界条件の使い方はご自分で工夫してください。
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Aベストアンサー

(´・ω・`)
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  U = ∩{A[λ] | λ∈Λ} ∩ B
ということだから、
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  ∀p( p∈U ⇒ (∀λ( λ∈Λ ⇒ p∈A[λ] ) ∧ p∈B) )
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Q”収束する無限積の積の順序変え”

退職した数学好きの年寄りが、家で頭をひねっています。
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ζ(2)はπ^2/6に収束しています。
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Aベストアンサー

あなたがお気づきの通り考え過ぎですよ。
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Q数列について。

座標平面上で、点(x、y)を考える。ここで、x、yを0以上の整数、nを自然数とする。このとき、以下の個数をnで表せ。
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Aベストアンサー

(1)
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半径は任意として次の質問に答えよ。

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Aベストアンサー

作図は、円Cの半径をrとした場合に、
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以上

さて、点Aを原点とすると、円Aはx^2+y^2=r^2で表される
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よって、二次関数となるのでCの軌跡は放物線となる。

Q三角関数について。

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0<θ<π/2であるから、Lはθ=ソπ/タの時、最大値チ+√ツ/テをとる。
(2)0<θ<π/4とする。△ BCHの面積をS1、△ACH の面積をS2とすると、
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教えていただけると幸いです。

Aベストアンサー

何が分からなくての質問ですか?
ちゃんと図を描いていますか?
あとは、三角関数の加法定理、2倍角の公式を使えばよい。

AC = sin(θ)                ←ア
AH = AC*cos(パイ/2 - θ) = AC*sin(θ)   ←イ
CH = AC*sin(パイ/2 - θ) = AC*cos(θ)   ←ウ
より
 AH = sin^2(θ)
 CH = sin(θ)*cos(θ) = (1/2)sin(2θ)

ここで
 cos(2θ) = cos^2(θ) - sin^2(θ) = [ 1 - sin^2(θ) ] - sin^2(θ) = 1 - 2sin^2(θ)
より
 sin^2(θ) = (1/2)[ 1 - cos(2θ) ]
なので
 AH = [ 1 - cos(2θ) ]/2   ←エオカ  解答欄に「カッコ」が抜けている? 
 CH = sin(2θ) /2       ←キク

L = AH + CH = 1/2 + [ sin(2θ) - cos(2θ) ] /2

ここで、
 sin(2θ) - cos(2θ) = √2 [ (1/√2)sin(2θ) - (1/√2)cos(2θ) ]
         = √2 [ cos(パイ/4)*sin(2θ) - sin(パイ/4)cos(2θ) ]
         = √2 sin(2θ - パイ/4)
ですから、
 L = (√2 /2)sin(2θ - パイ/4) + 1/2   ←ケコサスセ  あれ「シ」がないね?

0<θ<パイ/2 なので 0<2θ<パイ、従って - パイ/4 < 2θ - パイ/4 < (3/4)パイ であるから
 -√2 /2 < sin(2θ - パイ/4) ≦ 1
よって
 2θ - パイ/4 = パイ/2 つまり 2θ = (3/4)パイ、θ = (3/8)パイ 
のとき、L は最大値
 (1 + √2)/2
をとる。       ←ソタチツテ ここも解答欄に「カッコ」が抜けている? 


(2)
S1 = (1/2)BH*CH = (1/2)cos^2(θ) * [ cos(θ)*sin(θ) ] = (1/2)sin(θ)*cos^3(θ)
S2 = (1/2)AH*CH = (1/2)sin^2(θ) * [ cos(θ)*sin(θ) ] = (1/2)sin^3(θ)*cos(θ)

よって
 S1 - S2 = (1/2)sin(θ)*cos(θ)*[ cos^2(θ) - sin^2(θ) ]
     = (1/2) * [ sin(2θ) /2 ] * cos(2θ)
     = (1/4) sin(2θ) * cos(2θ)
     = (1/8) sin(4θ)

0 < θ < パイ/4 なので、0 < 4θ < パイ、従って
 4θ = パイ/2 つまり θ = パイ/8 
のとき、最大値
 1/8
をとる。       ←トナニヌネ

何が分からなくての質問ですか?
ちゃんと図を描いていますか?
あとは、三角関数の加法定理、2倍角の公式を使えばよい。

AC = sin(θ)                ←ア
AH = AC*cos(パイ/2 - θ) = AC*sin(θ)   ←イ
CH = AC*sin(パイ/2 - θ) = AC*cos(θ)   ←ウ
より
 AH = sin^2(θ)
 CH = sin(θ)*cos(θ) = (1/2)sin(2θ)

ここで
 cos(2θ) = cos^2(θ) - sin^2(θ) = [ 1 - sin^2(θ) ] - sin^2(θ) = 1 - 2sin^2(θ)
より
 sin^2(θ) = (1/2)[ 1 - cos(2θ) ]
なので
 AH = [ 1 - cos(2θ) ]/2   ←エオ...続きを読む

Qコインを50回投げて表が30回でる確率

コインを50回投げて表が30回でる確率を教えて頂けませんか?
ちなみに式は「50C30÷2の50乗」で合っているでしょうか?

Aベストアンサー

結果は合っています。

でも、どうしてそうなるのかが知りたいのでしょう?

コイントスで「表」の出る回数は二項分布に従います(この場合には「裏」の出る回数も同じ分布)。
二項分布で、ある事象が起こる確率が p のとき、n回試行して r 回起こる確率は

 P(n, r) = nCr * p^r * (1 - p)^(n - r)

です。
↓ 詳しく知りたければ:
https://bellcurve.jp/statistics/course/6979.html
https://bellcurve.jp/statistics/course/6979.html

コインなら、「表」の確率 p=1/2、「表以外=裏」の確率 1 - p = 1/2 です。
サイコロなら、たとえば「1」の目が出る確率 1/6、「1以外」の目が出る確率 1 - p = 5/6 です。

コインの場合には、
 p = 1/2
 1 - p = 1/2
なので、n=50, r=30 なら
 P(50, 30) = 50C30 * (1/2)^30 * (1 - 1/2)^(50 - 30) = 50C30 * (1/2)^50

「表」も「裏」も確率が 1/2 で同じなので、結果的に
 (1/2)^r * (1/2)^(n - r) = (1/2)^n
になって
 P(n, r) = nCr * (1/2)^n
になるのです。

結果は合っています。

でも、どうしてそうなるのかが知りたいのでしょう?

コイントスで「表」の出る回数は二項分布に従います(この場合には「裏」の出る回数も同じ分布)。
二項分布で、ある事象が起こる確率が p のとき、n回試行して r 回起こる確率は

 P(n, r) = nCr * p^r * (1 - p)^(n - r)

です。
↓ 詳しく知りたければ:
https://bellcurve.jp/statistics/course/6979.html
https://bellcurve.jp/statistics/course/6979.html

コインなら、「表」の確率 p=1/2、「表以外=裏」の確率 1 - p = 1/2 ...続きを読む

Qn=3の倍数ならば、n=6の倍数である。 という命題は、偽で反例をn=3と書いたのですが、解答にはn

n=3の倍数ならば、n=6の倍数である。

という命題は、偽で反例をn=3と書いたのですが、解答にはn=9とありました。

3も3の倍数なのに何故反例n=9となるのですか?

Aベストアンサー

(´・ω・`)
9は6の倍数じゃないだろ。

…ってこと。
ついでに15も21も6の倍数じゃない。

・・・
6を素因数分解したとき
 3×2
になる。
すなわち、6の倍数を素因数分解すると必ず。
 ”3×2”
の要素が無ければならない。
しかし3の倍数はこのうちの
 ”×2”
の要素を含まないものがある。
従って3の奇数倍は6の倍数にはならない。

ということを示さないとダメなんだ。

3だけじゃなくて9と15と21と27を併記しておけば正解としてくれたはず。

Q数学的帰納法の不等式

1+1/2+1/3+…+1/n<2√n (nは自然数)の証明です

n=1とn=kまではすんなりいけたのですが
n=k+1のとき、右辺が2√n+ 1/n+1となるので、
2√n+ 1/n+1<2√k+1を証明できれば、この証明は終了します
しかし、上記の不等式を変形する答えを見るとなかなかどうして思い浮かばない変形なのです

そこで、簡単で画期的な不等式の変形方法はないでしょうかという質問をさせて頂きます

よろしくお願いいたします

Aベストアンサー

4(k+1)-4(1/(√(k+1)))+(1/(k+1)^2) = 4k+4(1-(1/(√(k+1))))+(1/(k+1))^2

1項目 4k
2項目 正
3項目 正


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