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(1)2次関数y=ax²-2ax+3(0≦x≦3)の最大値が9のとき、定数aの値を求めよ
(2)2時不等式x²-(a-1)x-a<0を満たすxの整数値が2つのだけとなるような正の数aの値の範囲を求めよ

(3)実数xについて、x>aが│x│<3であるための必要条件となるようなaの値の範囲を求めよ

(4)(a+b+c+d+e)(a-b+c-d+e)を展開せよ

(5) x+√2<√2x+2

この5問を教えてください!

A 回答 (6件)

(4)(a+b+c+d+e)(a-b+c-d+e)={(a+b)+(c+d)+e}{(a-b)+(c-d)+e} としても、


   {(a+c+e)+(b+d)}{(a+c+e)-(b+d)} としても、
   たいして楽にはならないでしょうね。
   分配の法則に従って 地道に力づくで計算する方が確実かも。
(5) 普通に移行して計算すれば良いのでは。
  尚、右辺は「(√2)x+2」?「√(2x)+2」又は「√(2x+2)」?
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No.4です。

「(1)2次関数y=ax²-2ax+3(0」の回答画像5
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すいません、図を追加します。


ちなみに、No.3の「No.1」もミスです。
正確には、No.2,No.3です。
図は、1つしか追加できないみたいですので、
もう一つは、別の回答で追加します。
「(1)2次関数y=ax²-2ax+3(0」の回答画像4
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No.1です。


一か所ミスです
(3)│x│<3は、-3<x<3だから
  x>-3ならば、必要条件となる。
  a≦-3
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(1)y=a(x²-2x+1-1)+3


y=a(x-1)²-a+3
a>0のとき
  x=3のとき最大値y=9だから
  9=a(3-1)²-a+3
a=2
a<0のとき
  x=1のとき最大値y=9だから
  9=a(1-1)²-a+3
  a=-6
(2)x²-(a-1)x-a<0
(x-a)(x+1)<0
a>-1のとき1<a≦2なら整数解2つ(図1)
  a<-1のとき-4≦a<-3なら整数解2つ(図2)
(3)│x│<3は、-3<x<3だから
  x<3ならば、必要条件となる。
  a=3
(4)(a+b+c+d+e)(a-b+c-d+e)
=((a+c+e)+(b+d))((a+c+e)-(b+d))
= (a+c+e)²-(b+d)²
= a²+c²+e²+2ac+2ae+2ce-b²-2bd-d²
(5)x-√2x<2-√2
(1-√2)x<2-√2
1-√2<0に注意して
x>(2-√2)/(1-√2)
有理化して
    x>-√2
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(1) グラフを考えると分かり易いでしょう。


  a の正負で、グラフの形が変わりますね。
  放物線の軸の位置の依って y の最大値は変わりますね。
  場合分けをして考えましょう。
(2) 不等式が常に成り立つのは、どんな時でしたか。
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2.y = √(x^2 + 3) とおくと
 y' = dy/dx = x/√(x^2 + 3) = x/y

これを使って、
左辺 = (d/dx){ xy + a*log(x + y) }
  = y + xy' + [a/(x + y)](1 + y')
  = y + x^2 /y + a/(x + y) + ax/[y(x + y)]
  = { y^2 (x + y) + x^2 (x + y) + ay + ax }/[y(x + y)]
  = (y^2 + x^2 + a)/y

これが b√(x^2 + 3) = by に等しいので
  (y^2 + x^2 + a)/y = by
より
  (1 - b)y^2 + x^2 + a = 0
y を元に戻して
  (1 - b)(x^2 + 3) + x^2 + a = 0
→ (2 - b)x^2 = 3b - a - 3
これが任意の x に対して成り立つためには
 2 - b = 0, 3b - a - 3 = 0
である必要があり
 b = 2, a = 3
となる。

3.迷っていてもしょうがないので、実際にやってみれば
 左辺 = f'(x) = (2ax + b)e^(-x) - (ax^2 + bx + c)e^(-x) = [ -ax^2 + (2a - b)x + (b - c) ]e^(-x)
また、
 右辺 = f(x) + xe^(-x) = (ax^2 + bx + c)e^(-x) + xe^(-x) = [ ax^2 + (b + 1)x + c ]e^(-x)

これらがすべての実数 x で成り立つためには
 -a = a よって a=0
 2a - b = b + 1 → b = -1/2
 b - c = c → 2c = b = 1/2 より c = 1/4

2.y = √(x^2 + 3) とおくと
 y' = dy/dx = x/√(x^2 + 3) = x/y

これを使って、
左辺 = (d/dx){ xy + a*log(x + y) }
  = y + xy' + [a/(x + y)](1 + y')
  = y + x^2 /y + a/(x + y) + ax/[y(x + y)]
  = { y^2 (x + y) + x^2 (x + y) + ay + ax }/[y(x + y)]
  = (y^2 + x^2 + a)/y

これが b√(x^2 + 3) = by に等しいので
  (y^2 + x^2 + a)/y = by
より
  (1 - b)y^2 + x^2 + a = 0
y を元に戻して
  (1 - b)(x^2 + 3) + x^2 + a = 0
→ (2 - b)x^2 = 3b - a - 3
これが任意の x に対して成...続きを読む

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・・・
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しかし3の倍数はこのうちの
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これなら簡単に微分できます。

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={(4-a²)x-2(ab+6)-(b²-1)/x} / {√{4-(12/x)+1/x²}+a+(b/x)} ← 分母分子をxで割った。

x→∞のときこれが0に収束するためには、まず、分子のxの係数が0でなければならないから、4-a²=0 ∴a=±2
このとき、x→∞のときの極限値は、-2(ab+6)/(√4+a) = -2(ab+6)/(2+a)となり、2+a=0となるのは不適(極限値が0に収束しない)なので、a≠-2であるから、a=2である。
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( 2 )( 3 )が分かりません
どなたか教えてください

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(2)
(i)z=1のとき
z+1/z=2

(ii)z≠1のとき
z^4+z^3+z^2+z+1=0
両辺をz^2で割って
z^2+z+1+1/z+1/(z^2)=0
{z^2+1/(z^2)}+1+(z+1/z)=0
{(z+1/z)^2-2}+1+(z+1/z)=0
(z+1/z)^2-1+(z+1/z)=0
z+1/z=wとおくと
w^2+w-1=0
w=(-1±√5)/2
z+1/z=(-1±√5)/2

(3)
z^5=1より|z|=1なので
1/zはzと共役な複素数となる。(zと1/zは偏角が逆な複素数です。図をかいて見ると分かりやすい。)

つまりz=cos(4π/5)+isin(4π/5)のとき
z+1/z=cos(4π/5)+isin(4π/5)+cos(4π/5)-isin(4π/5)
=2cos(4π/5)

cos(4π/5)<0なので(2)で求めたz+1/zのうち負である値がこのときのz+1/zとなる。
よって
z+1/z=2cos(4π/5)=(-1-√5)/2
cos(4π/5)=(-1-√5)/4

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(1)θ=36°のとき、cos2θ=−cos3θが成り立つことを示せ。
(2)cos36°の値を求めよ。

解説よろしくお願いします。

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cos72°=cos(-72°)=-cos(180°-72°)=-cos108°=-cos3θ  ← cos(π±x)=-cosx の公式・cosの性質を利用するだけです
∴cos2θ=-cos3θ

cos2θ = -cos3θ ①に
ここで、3倍角の公式 cos3θ=4(cosθ)^3-3cosθ ➁
倍角の公式 cos2θ=2(cosθ)^2-1 ③
を適用する 3倍角の公式は加法定理などを使い導出出来る

2(cosθ)^2-1 = -(4(cosθ)^3-3cosθ)
-4(cosθ)^3 - 2(cosθ)^2 + 3cosθ + 1=0
4(cosθ)^3 + 2(cosθ)^2 - 3cosθ - 1=0 ← cosθ=-1の時,左式は0になり、(cosθ+1)が因数の一つだと判る。cosθ=-1,θ=180°であり、求める解ではない、
(cosθ+1)・(4(cosθ)^2 - 2(cosθ) - 1)=0 となり、2次式の方に解がある。2次式に解の公式を適用する

cosθ=(2±√(4+16))/(2・4)
=(1±√5)/4
但し(1-√5)/4<0 であり cos36°>0 とは異なるのでこれも解ではない
∴cos36°=(1+√5)/4 答え cos36°=(1+√5)/4

(2) は cosθ を式で捻り出してからも計算が面倒くさいです

cos72°=cos(-72°)=-cos(180°-72°)=-cos108°=-cos3θ  ← cos(π±x)=-cosx の公式・cosの性質を利用するだけです
∴cos2θ=-cos3θ

cos2θ = -cos3θ ①に
ここで、3倍角の公式 cos3θ=4(cosθ)^3-3cosθ ➁
倍角の公式 cos2θ=2(cosθ)^2-1 ③
を適用する 3倍角の公式は加法定理などを使い導出出来る

2(cosθ)^2-1 = -(4(cosθ)^3-3cosθ)
-4(cosθ)^3 - 2(cosθ)^2 + 3cosθ + 1=0
4(cosθ)^3 + 2(cosθ)^2 - 3cosθ - 1=0 ← cosθ=-1の時,左式は0になり、(cosθ+1)が因数の一つだと判る。cosθ=-1,θ=180°であり...続きを読む

Q二次関数の最小値、最大値について

y=x²だと
xに-1,-2,-3,1,2,3など入力し
逆山形になるので最小値があると思うのですが、

y=12x²-144x+324
などのように複雑になってくると代入するのも大変で何か別途、山形か
逆山形かを判別できないのでしょうか?

y=12x²-144x+324
は3次関数の導関数として導かれました。
なにとぞ宜しくお願いします。

Aベストアンサー

二次関数がスラスラできないうちに三次関数に手を出してもほぼ何も身に付かないでしょう。混乱するだけだし、やたらと時間がかかるはずです。
二次関数をしっかりやり直すことをお勧めします。

y=12x²-144x+324
=12(x²-12x+27)
=12{x²-12x+(36-36)+27}
=12{(x²-12x+36)+27-36}
=12{(x-6)²+27-36}
=12{(x-6)²-9}
=12(x-6)²-108
これは、y=12x²を、x方向に6、y方向に108、平行移動しただけの物です。
まずはこの「平方完成」がちゃんと身に付いているのか、次に、「平行移動」の仕方も身に付いているのか。
更には、y=12x²と言われて、上に凸か下に凸かが判るのか。
プロットするのであれば、y=x²と比べてみると良いのですが。

y=ax²+bx+c
=a{x²+(b/a)x}+c
=a{x²+2(b/2a)x+(b/2a)²-(b/2a)²}+c
=a{(x+b/2a)²-(b/2a)²}+c
=a(x+b/2a)²-(b²/4a)+c
=a(x+b/2a)²-(b²-4ac)/4a
と一般的に平行完成できてしまうので、y=ax²+bx+cは、y=ax²を、x方向に-b/2a、y方向に-(b²-4ac)/4a平行移動した物、ということになり、
従って、上に凸か下に凸かはaの正負を見れば一発で判ることになります。

b²-4ac。どこかで見たことは?
判別式、というのがこれですし、二次方程式の解の公式にも現れるはずです。
y=ax²+bx+c
=a(x+b/2a)²-(b²-4ac)/4a
y=0のとき、つまりax²+bx+c=0のとき、
a(x+b/2a)²-(b²-4ac)/4a=0
(b²-4ac)/4a=a(x+b/2a)²
(b²-4ac)/4a²=(x+b/2a)²
√{(b²-4ac)/4a²}=±(x+b/2a)
{√(b²-4ac)}/2a=±(x+b/2a)
±{√(b²-4ac)}/2a=(x+b/2a)
x={-b±√(b²-4ac)}/2a
というのが二次方程式の解の公式。
このうち平方根の中身、b²-4acが正か0か負か、が判別式。
平方根の中身が正であれば、二次方程式の解が、s±√tとなり、y=0のとき、つまりx軸と、グラフが2点で交わることになる。
平方根の中身が0であれば、s±√0=sとなり、x軸とグラフは、一点で接することを意味する。
平方根の中身が負であれば、y=0のときに実数解は無く、グラフとx軸とは、二点で交わることも、一点で接することも無く、接しない、ということを意味します。

それと、
11²=121
12²=144
17×3=51
この辺りは暗記しておいた方が良いかもしれません。
この問題だと、a=12、b=144で、12で括ればもう少し馴染みのある小さな数字にできそうだ、と見えてきます。

二次関数がスラスラできないうちに三次関数に手を出してもほぼ何も身に付かないでしょう。混乱するだけだし、やたらと時間がかかるはずです。
二次関数をしっかりやり直すことをお勧めします。

y=12x²-144x+324
=12(x²-12x+27)
=12{x²-12x+(36-36)+27}
=12{(x²-12x+36)+27-36}
=12{(x-6)²+27-36}
=12{(x-6)²-9}
=12(x-6)²-108
これは、y=12x²を、x方向に6、y方向に108、平行移動しただけの物です。
まずは...続きを読む

Q(4)と(5)解説付きで教えてください!!

(4)と(5)解説付きで教えてください!!

Aベストアンサー

No.1です。
(4)間違いです。

(a)水に入っていないときのばねの力は
0.0820×6.1=0.5002≒0.50[N]

(b)のときのばねの力は
0.0820×3.7=0.3034≒0.30[N]

その差が浮力なので
0.50-0.30=0.20[N]

(6)も同様に
(c)のときのばねの力は
0.0820×1.2=0.0984≒0.10[N]

(a)との差が浮力なので
0.50-0.10=0.4[N]


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