16の(2)についてです。どうしてa=2で重解であることがわかるのか分かりません。解説お願いします。

16の(2)についてです。どうしてa=2で重解であることがわかるのか分かりません。解説お願いします。結果的にそうなったのでは無さそうです。

No.3 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/11/14 17:10

#2説明が悪かったので訂正

A（またはAに非常に近い点A'）から引いた接線と3次曲線の接点がB(a,f(a))です。
ここで画像のように、(2,0)からわずかにずれた点A'から曲線に接線を引くものとします。
この場合でも、模範解答（２）のaの3次方程式が（近似的に）得られたとすれば
画像では3本の接線が引けていますのでこの3次方程式は3つの異なる解を持つはずです。（aは接点のｘ座標を表していますから）
さて、A'をAに近づけていくことを考えましょう。A'とAが近づくほどにB(黒）とB(青）も近づいていきますよね。そしてA'とAが重なるときに、B(黒）とB(青）もピッタリ重なります。
ピッタリ重なる前は、接点が3つですからaの3次方程式も解は3つです
ピッタリ重なった時、B(黒）のx座標と、B(青）のx座標は一致することになるので
それぞれのx座標を表すaは重なり結果重解となるわけです。
その重な地点がx=a=2という事ですね^-^

（以上直感的解説でした。）

この回答へのお礼

ありがとうございます。図で理解できた気がします。

お礼日時：2018/11/14 21:51

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/11/14 16:10

曲線: y=x³+2x²-5x-6　と

点(2,0)を通るこの曲線の接線： y=ｍ(x-2)　
の交点のx座標を求める場合　2つの式から
x³+2x²-5x-6=ｍ(x-2)・・・①　（曲線と接線の交点を求める式）
(2,0)は曲線上の点だから、グラフからx=2は方程式①の重解
ここで、接点の座標をx=aとすればm=f'(a)
接点とは交点の事でもあるから、①にx=aを代入しても等式が成り立つので
a³+2a²-5a-6=ｍ(a-2)
⇔a³+2a²-5a-6=f'(a)(a-2)・・・②
②は結局①の式のｘをaに置き換えただけのものだから①がx=2を重解に持つなら
②はa=2を重解にもつという事ですね。＾－＾

No.1 回答者： konjii 回答日時： 2018/11/14 10:34

aが2の時はｙ＝０で点Ａ（２，０）の座標になるからです。

点Ｂ≠点Ａの条件があります。