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軌跡の問題を解いているのですが、
軌跡の方程式を導いたあと、逆にそのとき条件を満たすことを示すように。
と参考書に書いてあるのですが、たとえば点Pの軌跡(直線)を求めるときの解答では、
「逆に、この直線上の任意の点Pは、条件を満たす。」
とあるのですが、これはただ満たすという事実を書くだけで、証明のようにはしなくてよいのでしょうか?
それなら、こんなことを書くぐらい誰だってできるので省略して良い気がするのですが…

教えて!goo グレード

A 回答 (3件)

あまり高校の参考書では触れられていないのですが、


>「逆に、この直線上の任意の点Pは、条件を満たす。」
といった言葉を書くか、書かないかはどうのようにして解いたのかによるのです。

詳しくいうと、例えば点の軌跡を求める際に同値変形をして求めたならば書かなくていいです。しかし、必要条件を用いて点の軌跡を求めたのなら、やはり上のような言葉を書く必要がありますし、厳密には逆を証明しなくてはなりません。

つまり、軌跡の問題に限らず他の数学の問題でもそうですが、同値な条件を常に意識するということが大切です。特に軌跡などの問題では、同値性を意識しないと全く答えが合わないことがあるので要注意です。この意識があると数学の理解がぐっと深まります。
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実際教科書には省略してもよいと書いてあるはずですが。


ANo.1の方が書いてらっしゃるように、条件を満たす点はすべて求めた方程式の表す図形の上にありますが、この図形の上の点がすべて条件を満たすとは限らないといことです。
ただこういう場合は高校の数学では少ないので、省略したりあるいは
おっしゃるように「逆のけいさんをすればなりたつ」旨を書いて済ませることも多いわけですが、正確ではないことになります。
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逆が成り立つ場合にはおっしゃるとおりほとんど


自明ですが、逆が成り立たない場合もあるので確
認の意味でこのようなことを必ず書く必要がある
のです。
たとえば2つの点A(-1,0)B(1,0)があって別の
点Cが線分ACと線分BCが直行すると場合のC
の軌跡を計算するとx^2+y^2=1の円が求まりますが
この場合逆は成り立たず、(-1,0)と(1,0)を含まな
いことを書かないと答えは×になります。
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