次の無限級数の収束、発散について調べ、収束する場合は、その和を求めよ。 という問題です。 解答の過程

次の無限級数の収束、発散について調べ、収束する場合は、その和を求めよ。
という問題です。
解答の過程を書いていただきたいです。
お願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： aco_michy 回答日時： 2018/11/19 07:26

分母だけ取り出して、数列の一般項を求める。

an=Σ[k=1;n]k(k+1)
an=Σ[k=1;n](k^2k+k)
an=n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2
=n(n+1)(n+2)/3
元の分数の数列の一般項は、
3*(1/n(n+1)(n+2))

1/n(n+1)(n+2)を部分分数分解すると、

(1/2)*(1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2))

元の分数の数列bnは、
b1=(3/2)*(1/1(1+1)-1/(1+1)(1+2))
b2=(3/2)*(1/2(2+1)-1/(2+1)(2+2))
b3=(3/2)*(1/3(3+1)-1/(3+1)(3+2))
b4=(3/2)*(1/4(4+1)-1/(4+1)(4+2))

bn=(3/2)*(1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2))

中の分数の+と-で、打ち消しあって
b1+b2+b3+…bnは、

(3/2)*(1/1(1+1)-1/(n+1)(n+2))
が、残る。
n→∞とすると
(3/2)*(1/1(1+1))
(3/2)*(1/2)
3/4
となる。