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質問です。エネルギー1calは4.2Jとして運動エネルギー1calを持つ21gの質量の物体の速さをMKS単位で答えよ。お願いします。

A 回答 (3件)

運動エネルギーをK[J]とすると


k=1/2mv² m:質量(kg) v:速度(m/s)
今,21g(0.021kg)の物体が、運動エネルギー4.2l(1cal)を持つとすれば、式に当てはめて
4.2=(1/2)x0.021xv²
→v²=4.2x2/0.021
V=20m/s
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(1/2)・0.021 kg ・v^2=4.2 J


v=√(4.2 J・2/0.021)=20 m/s
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運動エネルギー[J]を求める公式がありますから、それを利用してください。


速さをMKS単位で示すならば、[m/s]です。
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Q次の無限級数の和を求めよ。 という問題です。 解答の過程を書いていただきたいです。 お願いします。

次の無限級数の和を求めよ。
という問題です。
解答の過程を書いていただきたいです。
お願いします。

Aベストアンサー

https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum%5B2%2F(3%5En)-1%2F6%5E(n-1),n,1,%E2%88%9E%5D

別にどのように解いてもよいはずだよね。

・解答
「wolfram alpha」に計算させると、-1/5となった。

Q微分方程式について質問です。 画像の微分方程式が解けなくて困っています。 aは定数です。 こちらにも

微分方程式について質問です。

画像の微分方程式が解けなくて困っています。
aは定数です。

こちらにも問題を書くと、
(d/dt)^2*θ=a*sinθ/(1+a^2-2*a*cosθ)
初期条件:t=0でθ=π/2

です。

ヒントでもいいですので、どなたかわかる方いらっしゃいましたら教えていただけると幸いです。

Aベストアンサー

d²θ/dt²=Axsinθ/√{1+x²-2xcosθ}³__①
d²θ/dt²=Axsinθ/√{1+x²}³
初期条件t=0で、θ=π/2,dθ/dt=0

(dθ/dt)²をtで微分すると
(d/dt)((dθ/dt)²)=2(dθ/dt) d²θ/dt²__②
②の右辺に①を入れると
(d/dt)((dθ/dt)²)=2(dθ/dt)Axsinθ/√{1+x²-2xcosθ}³__③
③を積分すると
(dθ/dt)²=∫dt 2(dθ/dt) Axsinθ/√{1+x²-2xcosθ}³
=∫2dθAxsinθ/√{1+x²-2xcosθ}³__④
cosθ=u__⑤
と置いて、置換積分を行う。⑤を微分すると-sinθdθ=duとなるから、④は⑥となる。
(dθ/dt)²=-∫2duAx/√{1+x²-2xu}³__⑥
=-2A/√(1+x²-2xu)+C=-2A/√(1+x²-2x cosθ)+C__⑦
Cは積分定数である。
⑦に初期条件を入れると、t=0でθ=π/2,cosθ=0,dθ/dt=0だから
0=-2A/√(1+x²)+C
C=2A/√(1+x²)__⑧
⑦は⑨となり、dθ/dtは式⑩となる。
(dθ/dt)²=-2A/√(1+x²-2x cosθ)+ 2A/√(1+x²) ,dθ/dt=Ax/√{1+x²}³・t
=-2A{1/√(1+x²-2x cosθ)-1/√(1+x²)}__⑨
dθ/dt=√(-2A)√{1/√(1+x²-2x cosθ)-1/√(1+x²)}__⑩
式⑩は変数分離型の1階微分方程式だから
dθ/√{1/√(1+x²-2x cosθ)-1/√(1+x²)}=√(-2A)dt__⑪
これを積分すると
∫dθ/√{1/√(1+x²-2x cosθ)-1/√(1+x²)}=∫√(-2A)dt=√(-2A)(t+c)__⑫
cは積分定数である。初期条件を入れると、c=0である。
左辺の∫dθ/√{1/√(1+x²-2x cosθ)-1/√(1+x²)}を解析的に積分することができないので、数値積分が必要になるが、もとの2階微分の式より簡単化されている。
t=0のとき、積分の中が1/0=∞となるので、もう少し解析が必要である。

∫dθ/√{1/√(1+x²-2x cosθ)-1/√(1+x²) =√(-2A)t__⑫
この式の両辺に√xを掛けた⑬を⑭のように書くと⑮⑯である。
∫dθ√x /√{1/√(1+x²-2x cosθ)-1/√(1+x²)}=√(-2Ax)t__⑬
∫dθ/ f(θ,x)=s__⑭
f(θ,x)=√{1/√(1+x²-2x cosθ)-1/√(1+x²)}/√x__⑮
s=√(-2Ax)t__⑯
t=0のとき、θ=π/2,cosθ=0,f(θ, x)=0となるから、式⑭は0で割る割り算になり、使えない。
f(θ, x)≒0のときの近似解を調べる必要がある。そこでf(θ,x)_⑮を変形する。
f(θ,x)=√{1/√(1+x²-2x cosθ)-1/√(1+x²)}/√x  { }の中を通分する。
=√{√(1+x²)-√(1+x²-2x cosθ)/√(1+x²-2x cosθ)√(1+x²)√x }
右辺√の中の分子と分母に{√(1+x²) +√(1+x²-2x cosθ)}をかけると、xで約分できる。
=√{2cosθ/√(1+x²-2x cosθ)√(1+x²){√(1+x²) +√(1+x²-2x cosθ)}}
=√{2cosθ/{(1+x²)√(1+x²-2x cosθ)+(1+x²-2x cosθ)√(1+x²)}__⑰
t≒0のとき、θ≒π/2,cosθ≒0で、f(θ,x)≒0となるので、⑰の分母にcosθ=0を入れて
f(θ,x)の近似式を作ると、
f(θ,x)≒√{2cosθ/{(1+x²)√(1+x²)+(1+x²)√(1+x²)}
≒√{cosθ/(1+x²)^(3/2)}__⑱
∫dθ/ f(θ,x)≒(1+x²)^(3/4)∫dθ/√(cosθ)__⑲
この近似式も解析的に積分できないので、さらに近似して、⑳とすると近似解が求められる。
cosθ=sin(π/2-θ)≒π/2-θ__⑳
これを使うと
∫dθ/ f(θ,x)≒(1+x²)^(3/4)∫dθ/√(π/2-θ)
=-(1+x²)^(3/4)・2√(π/2-θ)__㉑
これを⑭に入れると、t≒0のときの近似解㉒を得る。
-(1+x²)^(3/4)・2√(π/2-θ)=s=√(-2Ax)t__㉒
θについて解く。
2√(π/2-θ)=-(1+x²)^(-3/4)・√(-2Ax)t
両辺を二乗すると
4(π/2-θ)= (1+x²)^(-3/2)・(-2Ax)t²
π/2-θ= (1+x²)^(-3/2)・(-Ax/2)t²
θ=π/2+(1+x²)^(-3/2)・(Ax/2)t²__㉓
これがθの近似解である。
㉓を①に入れて、近似解であることを確かめる。
d²θ/dt²=Axsinθ/√{1+x²-2xcosθ}³_①
左辺= (1+x²)^(-3/2)・(Ax)__㉔
t≒0のとき、θ≒π/2、sinθ≒1、cosθ≒0
右辺=Axsinθ/√{1+x²-2xcosθ}³=Ax /√{1+x²}³=左辺で成立する。
これで安心して数値積分ができそうだ。

d²θ/dt²=Axsinθ/√{1+x²-2xcosθ}³__①
d²θ/dt²=Axsinθ/√{1+x²}³
初期条件t=0で、θ=π/2,dθ/dt=0

(dθ/dt)²をtで微分すると
(d/dt)((dθ/dt)²)=2(dθ/dt) d²θ/dt²__②
②の右辺に①を入れると
(d/dt)((dθ/dt)²)=2(dθ/dt)Axsinθ/√{1+x²-2xcosθ}³__③
③を積分すると
(dθ/dt)²=∫dt 2(dθ/dt) Axsinθ/√{1+x²-2xcosθ}³
=∫2dθAxsinθ/√{1+x²-2xcosθ}³__④
cosθ=u__⑤
と置いて、置換積分を行う。⑤を微分すると-sinθdθ=duとなるから、④は⑥となる。
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Q理想気体の状態方程式pv=nRTより、 d v=(δv/δT)・dT+(δv/δp)・dp ...➀

理想気体の状態方程式pv=nRTより、
d v=(δv/δT)・dT+(δv/δp)・dp ...➀
と書けますが、この表現ができる理由として
Δv= v(T+ΔT,p+Δp)-v(T,p)
を変形していくことで、微分の定義から➀の式が導ける、という説明を読みました。
これでも十分に納得しているのですが、もし➀の両辺を例えばあたsらしい変数t用いてdtで割れば
d v/dt=(δv/δT)・dT/dt+(δv/δp)・dp/dt
となり、これはv(T,P) ( T(t),p(t) のとき)をtで偏微分した式になっています。
このことから、温度Tと圧力pが共通の変数t(例えば時間)の関数となっていると考えることはできないでしょうか?
大学の先生には間違っていると言われましたが特に理由は教えてもらえなかったので、この考え方の問題点を教えてください。

Aベストアンサー

pv=nRTでvはv(T, p)=nRT/p とした場合独立変数Tとpの関数です。
Tとpは独立で、Tとpを任意に変更しても
この式は成り立ちます。この式の意味はそういう意味です。

あなたのやろうとしていることは、Tとpは独立ではなく
双方ともtの関数だという「想定」を持ち込んでいるということ。
そうでなければdT/dtもdp/dtも定義出来ず、式が成立しません。

pとTが強制的にtのパラメータになるような制御機構が存在
すれば、間違ってはいないです。なければ間違いです。

Q次の無限級数の和を求めよ。 という問題です。 解答の過程を書いていただきたいです。 お願いします。

次の無限級数の和を求めよ。
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解答の過程を書いていただきたいです。
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1行目から2行目は、三角関数の「積和の公式」を使います。
https://www.studyplus.jp/193

cosA*sinB = (1/2){ sin(A + B) - sin(A - B) }
というやつです。

そうすれば、第 k 項は
 sin[ (3パイ + パイ)/2^(k+1) ] - sin[ (3パイ - パイ)/2^(k+1) ]
= sin[ 4パイ/2^(k+1) ] - sin[ 2パイ/2^(k+1) ]
= sin[ パイ/2^(k-1) ] - sin[ パイ/2^k ]

じゃあ、第(k + 1)項はというと
 sin[ パイ/2^k ] - sin[ パイ/2^(k+1) ]

第1項は
 2*cos(3パイ/4) sin(パイ/4)
= sin[ 4パイ/4] - sin[ (2パイ/4]
= sin[ パイ ] - sin[ パイ/2 ] = 0 - 1 = -1

ということで、第1項から第 n 項までの和は、各々で相殺して
 Sn = -1 + (1 - sin(パイ/4)) + ・・・ + (sin[ パイ/2^(n-1) ] - sin[ パイ/2^n ])
  = - sin[ パイ/2^n ]

n→∞ にすれば Sn→0

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= sin[ パイ/2^(k-1) ] - sin[ パイ/2^k ]

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 sin[ パイ/2^k ] - sin[ パイ/2^(k+1) ]

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 2*cos(3パイ/4) sin(パイ/4)
= sin[ 4パイ/4] - sin[ (2パイ/4]
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https://oshiete.goo.ne.jp/qa/9206153.html
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/9559692.html

>また、その衝撃を KN/㎡ という単位で表せないでしょうか?

それは無理です。その単位は「圧力」です。
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