電磁気の問題

長さL[m]の細い棒の上に電荷が線密度λ[C/m]で分布している。設問に答えなさい。
1.棒の延長線上で棒の中心からL[m]離れた点Pにおける電位はいくらか。
2.点Pにおける電界を求めなさい。

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2018/11/20 19:38

こういう場合電位を求めてから微分して電場

という、問題と同様の手順が定石。

k=1/(4πε)として、棒の中心から r の位置の電位は
線素による電位が kλdx/(r-x) なので

v(r)=∫[-L/2→L/2]kλ/(r-x)dx=kλ{log(r+L/2) - log(r-L/2)}=kλlog((r+L/2)/(r-L/2))
V(L)=kλlog3

微分すると
E=-dv/dr=-kλ{1/(r+L/2}-1/(r-L/2)}=-kλL/(r^2-L^2/4)
E(L)=(4/3)kλ/L

オンラインなのでへましてるかも(^-^;

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2018/11/19 10:43

(1) たとえば、棒の中心を原点とし、棒の方向で点Ｐのある方を「正」としたｘ軸を考えます。

（原点や座標軸のとり方は自由でよいです）
　棒の上の「座標 x ～ x + dx 微小区間」にある電荷は「λdx」ですから、電荷 q を座標 r に置いたときに働く力は
　　dF = k*q*λdx/(r - x)^2　　　　①
です。（k はクーロン定数）
　これを x：-L/2 ～ +L/2 で積分すれば、電荷 q が棒全体の電荷から受ける力 F が求まります。

この力に逆らって無限遠方から r=L まで持ってくるのに要する仕事を計算すればよいです。q=1 の単位電荷のときに、これが「電位」になります。

(2) ①を使って点Ｐ (r=L) での電荷 q に働く力を求めれば、点Ｐでの電界の強さを E としたときに働く力が
　　F = qE
ですから、Ｅの大きさが求まります。Ｅの向きは x の正方向です。