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(0,1)上の一様分布
写真のような方程式、に従う独立同一分布のn個の標本X1,X2,...,Xnの標本平均をXbarとする
1.標本平均Xbarの期待値を導出せよ
2.標本平均の分散V(Xbar)を導出せよ
3.n=2のとき標本平均Xbarが従う連続型確率密度関数f(xbar)を導出せよ
という問題なのですが、どうしたら良いのか全く分かりません。教えていただけませんでしょうか。よろしくお願いします。

「(0,1)上の一様分布 写真のような方程」の質問画像

A 回答 (1件)

問題を正しく写していますか?



xの定義域は
 -∞~+∞
ですか?
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に従う独立同一分布のn個の標本X1,X2,...,Xnの標本平均をXbarとする
1.標本平均Xbarが正規分布に従うことを示せ
2.標本平均Xbarの期待値を導出せよ
3.標本平均の分散V(Xbar)を導出せよ
という問題ですが、何をすれば良いか分かりません。教えていただけませんか。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

問題を正確に写していますか?

>f(x)=1/√(2π)×exp(-z^2/2)

x, z は何ですか?

>独立同一分布のn個の標本X1,X2,...,Xn

「独立同一分布」って何ですか?
「標本X1,X2,...,Xn」は、n個のサンプルの各々の値(上記 f(x) の x の値)ですか?

>1.標本平均Xbarが正規分布に従う

その場合の「標本平均Xbar」は複数あるということですか?
「いろいろな、n個の標本」を採って来て、その各々の平均を分布させるということですか?

上の条件の確認方々、お使いのテキストの「母集団」と「標本」の関係を復習すれば、詳しく出て来ると思いますよ。

Q統計学 1問でも構いません。教えてください。

統計学
1問でも構いません。教えてください。

Aベストアンサー

E[X] = (1/n)Σ[i=1~n]Xi = μ

分散は、「平均」との差を「2乗」したものの平均で、要するに「平均値からのばらつき」を表わします。
 V[X] = (1/n)Σ[i=1~n](Xi - μ)^2

分散はもとの X の次元の「2乗」になるので、X と同じ次元になるように平方根をとったものが「標準偏差」です。
 σ = √V

これさえ分かればできるはず。

① E[-X] = (1/n)Σ[i=1~n](-Xi) = -(1/n)Σ[i=1~n]Xi = -μ

② 上の①の結果から -X の平均値は -μ ですから
V[-X] = (1/n)Σ[i=1~n][-Xi - (-μ)]^2 = (1/n)Σ[i=1~n](-Xi + μ)^2 = (1/n)Σ[i=1~n](Xi - μ)^2 = V[X] = σ^2

設問が「μ と σ で表わせ」なので、V[X] のままではダメです。

③~⑧:同様に V[X] = σ^2 とすれば合っています。

⑨⑩ ここまでが分かっていれば
 (X - 3)/2 = (1/2)X - 3/2
とすれば分かるでしょ?

⑪ これでは答になっていません。E(X^2) とは?
 定義に戻って
  E[X^2] = (1/n)Σ[i=1~n](Xi^2)
です。ここで、そもそもの V[X] を見てみれば
  V[X] = (1/n)Σ[i=1~n](Xi - μ)^2
    = (1/n)Σ(Xi^2 - 2μXi + μ^2)  ←2乗を展開。Σの範囲は省略します。
    = (1/n)ΣXi^2 - (1/n)Σ2μXi + (1/n)Σμ^2  ←各々の和に展開。
    = (1/n)ΣXi^2 - 2μ(1/n)ΣXi + (1/n)(μ^2 * n)  ←第2項の定数部分を抜き出し、第3項は定数の和。
    = (1/n)ΣXi^2 - 2μ*μ + μ^2  ←第2項の総和は平均値。
    = (1/n)ΣXi^2 - μ^2
ということが分かりますか?
つまり
  (1/n)ΣXi^2 = V[X] + μ^2
と書けますから
  E[X^2] = σ^2 + μ^2
です。
従って
  E[2X^2] = 2 * E[X^2] = 2σ^2 + 2μ^2

E[X] = (1/n)Σ[i=1~n]Xi = μ

分散は、「平均」との差を「2乗」したものの平均で、要するに「平均値からのばらつき」を表わします。
 V[X] = (1/n)Σ[i=1~n](Xi - μ)^2

分散はもとの X の次元の「2乗」になるので、X と同じ次元になるように平方根をとったものが「標準偏差」です。
 σ = √V

これさえ分かればできるはず。

① E[-X] = (1/n)Σ[i=1~n](-Xi) = -(1/n)Σ[i=1~n]Xi = -μ

② 上の①の結果から -X の平均値は -μ ですから
V[-X] = (1/n)Σ[i=1~n][-Xi - (-μ)]^2 = (1/n)Σ[i=1~n](-Xi + μ)^2 = (1/n)Σ[i...続きを読む

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(a)定数aの値を求めよ。
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(c)Xの期待値を求めよ。

これ解けるかた早急によろしくお願いしますm(_ _)m

Aベストアンサー

問題の書き方が悪いですね。#2 さんのおっしゃる通り、おそらく書き写し間違いでしょう。

多分
 f(x) = a (0≦x<10)    ①
 f(x) = 2a (10≦x≦15)
 f(x) = 0 (x<0, 15<x)
ではないのかな?
「確率変数 X は、その値が x のときの確率密度が f(x) である」ということですから、きちんと「f(x) = ○○」と書かないといけません。また、多分定義域には「等号」も入っているはず。

#2 さんは、①を f(x)=0 と解釈した場合の解答です。

(a) 上の場合であれば
 ∫[-∞→∞]f(x)dx = 1
より
 a=1/20

(b) は、与えられた条件から x≧18 に対して f(x) = 0 なので
 P(X ≧ 18) = ∫[18→∞]f(x)dx = 0

(c) 期待値 E[X] は
 E[X] = ∫[-∞→∞]x*f(x)dx = ∫[0→10](x/20)dx + ∫[10→15](x/10)dx
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最尤推定量は、
①密度関数の値をn個掛け合わせて、それを尤度関数とし、
②それを微分して0と置くことで、xiとnの式として解いた値(μやσ)です。

ですから、α、βと置いても正規分布の式のμとσのままでも、上のやり方で解けます。ただ、2変量ですので偏微分が大変ですね。どう考えてもσはμに依存しますからね。
データサイエンスの教科書ではグリッドサーチ(刻んで解く方法)で、底面がμとσの軸でz軸が尤度ってグラフが出てきます。

また、それらは、#1さんの書かれた、平均は1次の積率、分散は2次の中心積率あるいは分散の公式(ただし、いずれも不偏分散にはならない)に一致します。

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Q検定の判定結果

検定の判定について教えてください

有意水準5%と検定統計量が5%と同じでしたら
帰無仮説は棄却できるのでしょうか?

また判定で注意しなければいけないことがありましたら
ご教授ください。

よろしくお願いします

Aベストアンサー

企業でSQCを推進する立場の者です。

有意水準ぎりぎりのときは、「結論付けられない」として、研究を続行します。
企業において、例えば市場対策の有効性がギリギリのグレーゾーンの時は、以上か未満かなんて理屈で意思決定する訳がありません。お客様の命が掛っていればなおさらです。

やってはいけませんが、トリックとしては、n数を少し増やせば、有意になります。そんな世界ですし、だいたい5%なんて、フィッシャーの遺言みたいな数値ですので、厳密な意味はありません。

有名な話ですが、結果のP値が0.04~0.05の論文の数と0.05~0.06の論文の数は等しいはずにもかかわらず、実際に調べてみると0.04~0.05の論文が0.05~0.06の論文より5倍多いと報告されています(BMJ 2006; 333: 231-4)。

有意にならなかった研究は発表されないというパブリッシャーバイアスが働いたか、上で述べたトリックを使って有意にしたか(本来、追加実験時は、多重比較になりますので、有意水準を調整しなければなりません)、いずれにしろ、論文の世界の話です。

一方、開発現場などの場合は、「発表できない」「判断に迷う」とかいう結論になり、再実験になります。いや、再実験すべきです。



判定で注意すべき点としては、nが多ければ殆どのケースで有意になります。よって現在、医学薬学系、心理学系などの論文誌では、t検定で有意になっただけでは論文はアクセプトされません。エフェクト・サイズ(効果量)の併記が必要です。

また、ご存じとは思いますが、帰無仮説が棄却されても「同等である」とは言えません。「差があるとは言えない」です。
5%水準で有意となる事象は、「確率95%で正しい」とは言えません。第二種の過誤を考慮しなければなりません。
95%信頼区間とは、「95%の確率で真値を含む区間」とは言えません。単なる「観測のマズさ」に過ぎません。

企業でSQCを推進する立場の者です。

有意水準ぎりぎりのときは、「結論付けられない」として、研究を続行します。
企業において、例えば市場対策の有効性がギリギリのグレーゾーンの時は、以上か未満かなんて理屈で意思決定する訳がありません。お客様の命が掛っていればなおさらです。

やってはいけませんが、トリックとしては、n数を少し増やせば、有意になります。そんな世界ですし、だいたい5%なんて、フィッシャーの遺言みたいな数値ですので、厳密な意味はありません。

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を満たしている、フツーの確率密度関数。
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から瞬殺。


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