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数学について。
次の等式を満たす関数f(x)と定数aの値を求めよ。

∫(上x下1)f(t)dt=2x²+x+a
解説には 等式の両辺の関数をxで微分とあるのですが、意味がわかりません。
どうやればf(x)=4x+1になりますか?
解説お願いします。

A 回答 (1件)

∫f(t)dt=F(t)とすると


∫(上x下1)f(t)dt
=F(x)-F(1)
これを微分すると
F(1)は、定数だから消えてしまって
F'(x)
∫f(t)dt=F(t)
ということは、
∫f(x)dt=F(x)
つまり、
F(x)を微分するとf(x)
になるからです。
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等式f(x)=2x^2-x+∫2~0f(t)dtを満たす関数f(x)を求めよ。という問題ですがf(t)とは分かりやすくするためにtとおいているだけでf(x)と考えていいということなのでしょうか?

Aベストアンサー

質問にはふたつの論点が混在しているような気がします.

(1) f(t) とは何か? 「関数 f(x) の変数 x を別の変数 t に置き換えたものであって,関数として本質的に同一である」という理解は正しいか?
(2) 右辺の定積分の項を x でなく t を使って書いているのはなぜか? 単に「分かりやすくする」ためだけなのか? それなら t を使わず f(x)=2x^2-x+∫[0,2]f(x)dx と書いても(分かりにくいとはいえ)許されるのではないか?

(1)についてはすでに#1,#2で回答されています.
(2)について,私はあえてこう回答します.
========
右辺の定積分の項を x でなく t を使って書くのは,単に「分かりやすくするため」程度ではなく,「そうしなければならない(好むと好まざるとにかかわらず)」ものである. f(x)=2x^2-x+∫[0,2]f(x)dx と書くのは「誤り」と言ってよい(少なくとも「著しく不適切な書き方」であることは間違いない).
========
なぜか? 次の2つの式に対して「x に 1 を代入する」という操作を考えてみましょう.

(a) f(x)=2x^2-x+∫[0,2]f(t)dt
(b) f(x)=2x^2-x+∫[0,2]f(x)dx

(a) は f(1)=2*(1^2)-1+∫[0,2]f(t)dt (*は掛け算記号)となり,何の問題もありません.
一方,(b) は f(1)=2*(1^2)-1+∫[0,2]f(1)dx (あるいは f(1)=2*(1^2)-1+∫[0,2]f(1)d1)!? となり,おかしなことになります.

数学で使う変数には,大きく分けてふたつの役割(使われ方)があります.
次のふたつの式を考えてみましょう.

(a) 2x^2+x
(b) ∫[0,2] t^3 dt

(a) の変数 x には,1,2,... などの値を代入できます.そして,x に値を代入するごとに,式全体の値が(x に代入された値に応じて)決まります.たとえば x に 1 を代入すると式は 2*(1^2)+1 となり,式の値は 3 です.2 を代入すると式の値は 10 です.
ところで,(b) の変数 t に値を「代入」できますか?
「t に 1 を代入すると式は ∫[0,2] 1^3 dt となる」…この操作は許されますか?
∫[0,2] t^3 dt という式全体の値は,t に値を「代入」してはじめて決まるのですか? 違います.「代入」という操作をするまでもなく,式の値はすでに 4 と決まっています.

(a)の使われ方の変数は「自由に値を代入できる」変数です.
(b)の使われ方の変数は「(式全体の外側の立場からは)値を代入できない」変数です.
数学では,(a)の役割の変数を「自由変数」,(b)の役割の変数を「束縛変数」といいます.
これらは,式の中で果たしている役割が根本的に異なるのです.

積分変数は束縛変数のひとつです.積分変数以外では,たとえば和の記号を使った式 Σ[k=0,N]2^k の k も束縛変数です.命題や条件を「すべての x について…」「…である y が存在する」などと書き表すときの x,y も束縛変数です(全体の外側の立場からは値を代入できない).
CやJavaなどのプログラミング言語をご存じの方なら,自由変数,束縛変数はそれぞれ,関数(メソッド)の定義における「仮引数」「ローカル変数」と思えばわかりやすいかもしれません.

一般に,同じ式の中で,同じ文字を自由変数と束縛変数の両方の意味で使うことは許されません.それを許すと「代入」という操作で破綻してしまうからです.同じ式の中では,自由変数に使う文字と束縛変数に使う文字は分けなければなりません.右辺の積分の項で t を使っているのは,「x がすでに式の中で自由変数として使われているので,x を束縛変数として使うことが許されない」からです.

質問にはふたつの論点が混在しているような気がします.

(1) f(t) とは何か? 「関数 f(x) の変数 x を別の変数 t に置き換えたものであって,関数として本質的に同一である」という理解は正しいか?
(2) 右辺の定積分の項を x でなく t を使って書いているのはなぜか? 単に「分かりやすくする」ためだけなのか? それなら t を使わず f(x)=2x^2-x+∫[0,2]f(x)dx と書いても(分かりにくいとはいえ)許されるのではないか?

(1)についてはすでに#1,#2で回答されています.
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こんにちは。

二次関数f(x)は、定数a、b、c を用いて
f(x) = ax^2 + bx + c
と表せます。
そして、
f’(x) = 2ax + b
ですね。

肝心なのは、ここからです。
「等式x^2f´(x)-(2x-1)f(x)=1を満たす」というのは、常にそうなるという意味です。
つまり、
x^2・(2ax+b) - (2x-1)(ax^2 + bx + c) - 1 = 0
が常に成り立つような a、b、c を求めればよいことになります。
   別の言い方では、
   x^2・(2ax+b) - (2x-1)(ax^2 + bx + c) - 1 = 0
   が恒等式になるような a、b、c を求めればよいということです。

展開すると、
2ax^3 + bx^2 - 2x(ax^2 + bx + c) + (ax^2 + bx + c) - 1 = 0
2ax^3 + bx^2 - 2ax^3 - 2bx^2 - 2cx + ax^2 + bx + c - 1 = 0
(a-b)x^2 + (b-2c)x + (c-1) = 0
右辺がゼロなので、恒等式になるためには、
a-b = 0
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ということになります。

ここまで来れば大丈夫ですよね?

なお、私は計算ミスが多いので、最初から点検してください。

こんにちは。

二次関数f(x)は、定数a、b、c を用いて
f(x) = ax^2 + bx + c
と表せます。
そして、
f’(x) = 2ax + b
ですね。

肝心なのは、ここからです。
「等式x^2f´(x)-(2x-1)f(x)=1を満たす」というのは、常にそうなるという意味です。
つまり、
x^2・(2ax+b) - (2x-1)(ax^2 + bx + c) - 1 = 0
が常に成り立つような a、b、c を求めればよいことになります。
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で、教科書ガイド等は持っているのでしょうか。
例題以外は解答解説が無いから手が出せないということは。
基本、読んで解る解答解説が無い教材は、自学自習に於いて使ってはいけません。
また、教科書が使い物になる科目とならない科目とあって、数学は前者です。

> ちなみに私は丸二年間勉強とは無縁の生活を送っていました。

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>この変形でなぜ問題ないのか分からないので、この点を教えて頂けないでしょうか。

気持ちは分かりますが、問題ありません。
まず、数学の記法としてlimの外側には数値や演算子は記載しません。例と挙げると、

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ANo.2です。

>添付画像のように、(lim〇)^2の形ならe^2と素直に納得できますが、lim(〇^2)の形でe^2といきなりしてしまったことに引っ掛かっていた訳です。
>この変形でなぜ問題ないのか分からないので、この点を教えて頂けないでしょうか。

気持ちは分かりますが、問題ありません。
まず、数学の記法としてlimの外側には数値や演算子は記載しません。例と挙げると、

lim[x→∞](3+(1+1/x)^x)=3+lim[x→∞](1+1/x)^x)

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=3 * 3^(p+1) + (3+13) * 4^(2p-1)
=3 * 3^(p+1) + 3 * 4^(2p-1) + 13 * 4^(2p-1)
=3*(3^(p+1) + 4^(2p-1)) + 13 * 4^(2p-1)
=3*13k + 13 * 4^(2p-1)

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(証明終わり)

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=3 * 3^(p+1) + 4^2 * 4^(2p-1)
=3 * 3^(p+1) + 16 * 4^(2p-1)
=3 * 3^(p+1) + (3+13) * 4^(2p-1)
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