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水平な滑らか床に置かれた
ばね定数kのばねの両端に
質量の異なる物体をそれぞれつける。
ばねを自然長からlだけ縮めて、静かにはなすと2物体は単振動を始めた。


この現象について
質問ですが、なぜこの現象を一方の物体から相対的にもう一方の物体を見ると単振動するんですか?

上の性質を利用するために
運動方程式を相対座標で表すとはどういうことなのでしょうか?



また別の考え方でアプローチする際
静止している重心Gに対して2物体は単振動していると言えるのはなぜですか?

A 回答 (2件)

あちゃーかなり間違えてますね。

修正版


ここで物体1, 2 にかかる力F1, F2は、バネの自然長を L とすると、フックの法則から
F1 = (x2-x1 - L)k ①
F2 = -(x2-x1 - L)k ②

x' = x - xg という新しい座標系を定義して、そこでの物体の座標値を x1', x2' とすると
xg' = xg-xg = 0
(m1x1' + m2x2')/(m1+m2) = (m1(x1-xg) + m2(x2-xg))/(m1+m2)=
(m1x1 + m2x2)/(m1+m2)-(m1+m2)xg/(m1+m2)=xg-xg = 0

従って
m1x1' + m2x2' = 0 → m1x1' = - m2x2'
つまり x1' と x2' は方向が反対の単純な比例関係になります。

また式①、②は
F1 = (x2-x1 - L)k = ((x2-xg)-(x1-xg) - L)k = (x2'-x1' - L)k ③
F2 = -(x2-x1 - L)k = -((x2-xg)-(x1-xg) - L)k = -(x2'-x1'- L)k ④


ですから、④から x1' を消去すると
F2 = -(x2' + (m1/m2)x2')k = -{(m1+m2)/m2}kx2' + Lk

同様に③は
F1 = -{(m1+m2)/m1}kx1' - Lk

-{(m1+m2)/m1} k = k1', -{(m1+m2)/m1}k = k2' とすれば

F1 = -k1'x1' - Lk= m1a1
F2 = -k2'x2' + Lk= m2a2

x'' = x' + L(m1/(m1+m2))
x''' = x' - L(m2/(m1+m2))
という座標変換をさらに行うと

F1 = -k1'x1'’= m1a1(a1: 物体1の加速度)
F2 = -k2'x2'''= m2a2(a2: 物体1の加速度)


m' = m1m2/(m1+m2) とすると
双方ともω = √{k/m'} の角速度で狭義の単振動することになります。
残念ながら重心が中心ではなく、バネの自然長分左右に振動中心が分裂します。

つまり、最初から 物体1, 2 の重心の座標を原点としていれば、
物体1, 2 の方程式を2個の独立の微分方程式にすることが可能です。

一般に、運動量保存則が成り立つ系では、重心が原点で静止しているような座標系を
選ぶと、式が劇的に簡単化し、物理的な見通しもよくなり、計算も簡単になります。

xx(x1から見たx2) = x2-x1 = x2' - x1'は
xx = Asinωt + Bcosωt +C(ω=√(k/m’), A, B、C任意の定数)
という形になりますので
x は広義の単振動(正弦波振動)になりますね。
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まず、単振動は何かという話からした方がよいかもしれません。


広義の単振動とは一つの一定した周波数で正弦振動することを指しますが
物理での単振動は、適当な座標系を用いると、物体に加わる力が

F = ma = -kx (k: 定数、x:物体の位置, m: 物体の重さ, a 物体の加速度)
となり、この微分方程式の解は
x = Asinωt + Bcosωt (ω=√(k/m), A, B任意の定数)
という形式になる振動のことをいいます。

そういう意味では
>なぜこの現象を一方の物体から相対的にもう一方の物体を見ると単振動するんですか?
は広義の単振動で、普通の物理の意味での単振動ではないですね。

ばねにつながれた2個の物体の質量、速度、位置を m1, v1, x1, m2, v2, x2 とすると
ばねから 手を放す時間を t =0 とすれば

重心 xg = (m1x1 + m2x2)/(m1+m2)
重心の速度 vg = (m1v1 + m2v2)/(m1+m2)
v1(0)=v2(0)=0 ですから vg = 0 つまり m1v1 + m2v2=0
運動量保存則から m1v1 + m2v2 は変化しませんから vg はずっとゼロです。
vgがゼロ、つまり重心は止まってますから、xg は一定値です。
つまり m1x1 + m2x2 = xg=一定値 ということです。

ここで物体1, 2 にかかる力F1, F2は、バネの自然長を L とすると、フックの法則から
F1 = (x2-x1 - L)k ①
F2 = -(x2-x1 - L)k ②

さて、そろそろ嫌気がさしてきたと思うので、重心を使って簡単化してみましょう。

x' = x - xg という新しい座標系を定義して、そこでの物体の座標値を x1', x2' とすると
xg' = xg-xg = 0
(m1x1' + m2x2')/(m1+m2) = (m1(x1-xg) + m2(x2-xg))/(m1+m2)=
(m1x1 + m2x2)/(m1+m2)-(m1+m2)xg/(m1+m2)=xg-xg = 0

従って
m1x1' + m2x2' = 0 → m1x1' = - m2x2'
つまり x1' と x2' は方向が反対の単純な比例関係になります。

また式①、②は
F1 = (x2-x1 - L)k = ((x2-xg)-(x1-xg) - L)k = (x2'-x1')k ③
F2 = -(x2-x1 - L)k = -((x2-xg)-(x1-xg) - L)k = -(x2'-x1')k ④


ですから、④から x1' を消去すると
F2 = -(x2' + (m1/m2)x2')k = -{(m1+m2)/m2}kx2'

同様に③は
F1 = -{(m1+m2)/m1}kx1'

-{(m1+m2)/m1} k = k1', -{(m1+m2)/m1}k = k2' とすれば

F1 = -k1'x1' = m1a1
F2 = -k2'x2' = m2a2

m' = m1m2/(m1+m2) とすると
となり、双方とも重心に対して ω = √{k/m'} の角速度で狭義の単振動することになります。

つまり、最初から 物体1, 2 の重心の座標を原点としていれば、
物体1, 2 を分離しして2個の独立の微分方程式にすることが可能です。

一般に、運動量保存則が成り立つ系では、重心が原点で静止しているような座標系を
選ぶと、式が劇的に簡単化し、物理的な見通しもよくなり、計算も簡単になります。

xx(x1から見たx2) = x2-x1 = x2' - x1'は
xx = Asinωt + Bcosωt (ω=√(k/m’), A, B任意の定数)
という形になりますので x は広義の単振動にはなりますね。
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