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①x^1/4+x^-1/4=2(x>0、xは実数)のとき、x^3/4+x^-3/4 / x+x^-1 の値を求めよ。
②方程式16^x-32×4^x-2=0の解を求めよ。

③関数 f(x)=2x、g(x)=3^x+63 について、f(g(x))=g(f(x))を満たすxの値を求めよ。

④不等式4^x-2^x+1-8≦0を満たすxの範囲を求めよ。

を教えてください。宜しくお願い致します

A 回答 (1件)

④から。


4^x-2^x+1-8≦0
2^x=tとおく。なお、t>0である。
すると、与式は t^2-2・t-8≦0 と変形できる。ここで、t>0に注意して解いていく。
t^2-2t-8=(t-4)(t+2)≦0
-2≦t≦4
-2≦2^x≦2^2
答え:x≦2


次に③を。
3^x=A とすると、A>0であるが、
f(g(x))=f(3^x+63)=2(3^x+63)=2・3^x+126=2A+126
g(f(x))=g(2x)=3^(2x)+63=A^2+63
故に、A^2+63=2A+126 → A^2-2A-63=0 → (A-9)(A+7)=0 → A>0より、A=9のみ適格。
3^x=9 → x=2
答え:x=2


次に②を。
方程式 16^x-32×4^(x-2)=0 において、4^x=Tとおくと、T^2-32T/4^2=T^2-32T/16=T^2-2T=0 となる。なお、T>0である。
T(T-2)=0 → T=4^x=2 → x=1/2

※もしも、
16^x-32×4^x-2=0 → T^-32T-2=0 の場合、T=16±2√66/2 となって非常に面倒になるので違うと思いますが・・・。


最後に①を。
x^1/4+x^-1/4=2
両辺を2乗すると、右辺は4であるが、左辺=x^1/2+2+x^-1/2=x^1/2+x^-1/2+2
だから、x^1/2+x^-1/2=2

両辺を3乗すると、右辺は8であるが、左辺=
x^3/4+3・(x^1/4)^2(x^-1/4)+3・(x^1/4)(x^-1/4)^2+x^-3/4
=x^3/4+x^-3/4+3・{(x^1/4)+(x^-1/4)}
=x^3/4+x^-3/4+3・2
=x^3/4+x^-3/4+6
だから、x^3/4+x^-3/4=2

{x^3/4+x^-3/4}{x^1/4+x^-1/4}=x+x^1/2+x^-1/2+x^-1=(x+x^-1)+(x^1/2+x^-1/2)=2×2=4
x^1/2+x^-1/2=2だから、x+x^-1=2

故に、(x^3/4+x^-3/4)/(x+x^-1)=2/2=1
答え:1
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この回答へのお礼

ありがとうございました。分かりやすかったです。

お礼日時:2018/11/26 22:45

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Q複素数の平方根

複素数z=Rexp(jθ) の平方根は
√z=√Rexp(jθ/2)
位相角θの定義域にはどんな制限があるのでしょうか?例えばθ=225°と-135°ではそのまま代入すると結果が変わります。

Aベストアンサー

まず最初に、z=Rexp(jθ) の平方根は√Rexp(jθ/2)だけではありません。

z=Rexp(jθ)=Rcosθ+jRsinθ …(a)

2乗するとzになる複素数を√RcosX+j√RsinXとすると、
(√RcosX+j√RsinX)^2
= R(cosX)^2 - R(sinX)^2 + j2RsinXcosX
= R((cosX)^2 - (sinX)^2) + jR(2sinXcosX)
= Rcos2X + jR(sin2X) …(b)

ここで(a)と(b)の実部と虚部を比較すると

cosθ=cos2X, sinθ=sin2X …(c)

になります。
ここからが重要ですが、ラジアン角(位相角)に2Πを加算または減算しても(c)は成立します。
表記の都合上減算したとすると、

cosθ=cos(2X-2Π), sinθ=sin(2X-2Π) …(d)

(d)を変形すると
cosθ=cos(2X-2Π)=cos(2(X-Π)), sinθ=sin(2X-2Π)=cos(2(X-Π)) …(e)

ここでラジアン角同士を比較すると(c), (e)は

θ=2X
X=θ/2

θ=2(X-Π)
X-Π=θ/2
X=(θ/2)+Π

よって、z=Rexp(jθ)の平方根は、

√Rcos(θ/2)+j√Rsin(θ/2)=√Rexp(jθ/2)
√Rcos((θ/2)+Π)+j√Rsin((θ/2)+Π)=√Rexp(j((θ/2)+Π))

の2つになります。

前置きが長くなりましたが、位相角θの定義域は以下になります。
前提として0≦θ≦2Πとします。

√Rexp(jθ/2)の位相角θの定義域:0≦θ≦Π/2, Π≦θ≦3Π/2
√Rexp(j((θ/2)+Π))の位相角θの定義域:Π/2≦θ≦Π, 3Π/2≦θ≦2Π

まず最初に、z=Rexp(jθ) の平方根は√Rexp(jθ/2)だけではありません。

z=Rexp(jθ)=Rcosθ+jRsinθ …(a)

2乗するとzになる複素数を√RcosX+j√RsinXとすると、
(√RcosX+j√RsinX)^2
= R(cosX)^2 - R(sinX)^2 + j2RsinXcosX
= R((cosX)^2 - (sinX)^2) + jR(2sinXcosX)
= Rcos2X + jR(sin2X) …(b)

ここで(a)と(b)の実部と虚部を比較すると

cosθ=cos2X, sinθ=sin2X …(c)

になります。
ここからが重要ですが、ラジアン角(位相角)に2Πを加算または減算しても(c)は成立します。
表記の都合上減算したとすると、

cosθ=co...続きを読む

QなぜサインAしかでてないのに、Cは同じとなるのですか?

なぜサインAしかでてないのに、Cは同じとなるのですか?

Aベストアンサー

円に内接する四角形の対角の和は180°になるという性質があります
だから角Aの角度をθとすれば
角cの角度は180°-θとなります
それに加えて
sinθ=sin(πーθ)の公式を用いると
角Aと角cのsinの値が等しくなります

尚、最後のsin変換公式は数学IAでは覚えるものとされますが、数学IIBで学習する加法定理を理解すれば導くことができます(加法定理を証明するには大学でならう行列を学習する必要があります)

Q二次関数の最小値、最大値について

y=x²だと
xに-1,-2,-3,1,2,3など入力し
逆山形になるので最小値があると思うのですが、

y=12x²-144x+324
などのように複雑になってくると代入するのも大変で何か別途、山形か
逆山形かを判別できないのでしょうか?

y=12x²-144x+324
は3次関数の導関数として導かれました。
なにとぞ宜しくお願いします。

Aベストアンサー

二次関数がスラスラできないうちに三次関数に手を出してもほぼ何も身に付かないでしょう。混乱するだけだし、やたらと時間がかかるはずです。
二次関数をしっかりやり直すことをお勧めします。

y=12x²-144x+324
=12(x²-12x+27)
=12{x²-12x+(36-36)+27}
=12{(x²-12x+36)+27-36}
=12{(x-6)²+27-36}
=12{(x-6)²-9}
=12(x-6)²-108
これは、y=12x²を、x方向に6、y方向に108、平行移動しただけの物です。
まずはこの「平方完成」がちゃんと身に付いているのか、次に、「平行移動」の仕方も身に付いているのか。
更には、y=12x²と言われて、上に凸か下に凸かが判るのか。
プロットするのであれば、y=x²と比べてみると良いのですが。

y=ax²+bx+c
=a{x²+(b/a)x}+c
=a{x²+2(b/2a)x+(b/2a)²-(b/2a)²}+c
=a{(x+b/2a)²-(b/2a)²}+c
=a(x+b/2a)²-(b²/4a)+c
=a(x+b/2a)²-(b²-4ac)/4a
と一般的に平行完成できてしまうので、y=ax²+bx+cは、y=ax²を、x方向に-b/2a、y方向に-(b²-4ac)/4a平行移動した物、ということになり、
従って、上に凸か下に凸かはaの正負を見れば一発で判ることになります。

b²-4ac。どこかで見たことは?
判別式、というのがこれですし、二次方程式の解の公式にも現れるはずです。
y=ax²+bx+c
=a(x+b/2a)²-(b²-4ac)/4a
y=0のとき、つまりax²+bx+c=0のとき、
a(x+b/2a)²-(b²-4ac)/4a=0
(b²-4ac)/4a=a(x+b/2a)²
(b²-4ac)/4a²=(x+b/2a)²
√{(b²-4ac)/4a²}=±(x+b/2a)
{√(b²-4ac)}/2a=±(x+b/2a)
±{√(b²-4ac)}/2a=(x+b/2a)
x={-b±√(b²-4ac)}/2a
というのが二次方程式の解の公式。
このうち平方根の中身、b²-4acが正か0か負か、が判別式。
平方根の中身が正であれば、二次方程式の解が、s±√tとなり、y=0のとき、つまりx軸と、グラフが2点で交わることになる。
平方根の中身が0であれば、s±√0=sとなり、x軸とグラフは、一点で接することを意味する。
平方根の中身が負であれば、y=0のときに実数解は無く、グラフとx軸とは、二点で交わることも、一点で接することも無く、接しない、ということを意味します。

それと、
11²=121
12²=144
17×3=51
この辺りは暗記しておいた方が良いかもしれません。
この問題だと、a=12、b=144で、12で括ればもう少し馴染みのある小さな数字にできそうだ、と見えてきます。

二次関数がスラスラできないうちに三次関数に手を出してもほぼ何も身に付かないでしょう。混乱するだけだし、やたらと時間がかかるはずです。
二次関数をしっかりやり直すことをお勧めします。

y=12x²-144x+324
=12(x²-12x+27)
=12{x²-12x+(36-36)+27}
=12{(x²-12x+36)+27-36}
=12{(x-6)²+27-36}
=12{(x-6)²-9}
=12(x-6)²-108
これは、y=12x²を、x方向に6、y方向に108、平行移動しただけの物です。
まずは...続きを読む

Q高校数学を教えて下さい

数学の問題がわかりません、解き方を教えて頂きたいです。


直角を挟む2辺の長さの和が18cmである直角三角形について、次の値を求めよ。
(1)面積の最大値
(2)斜辺の長さの最小値

Aベストアンサー

底辺×高さ/2
1.底辺xとすると高さ(18-x)
x(18-x) の最大値を求める
=-x^2+18x
=-(x^2-18+81)+81
=-(x-9)^2+81
x=9 の時 2つの辺が等しいとき、面積は最大値となり、81/2となる

斜辺の長さの最小値
三平方の定理より
(求める斜辺の長さ)^2=x^2+(18-x)^2
=x^2+324-36x+x^2
=2x^2-36x+324
=2(x^2-18x+162)
=2(x^2-18x+81+162-81)
=2(x^2-18x+81)+81/2
=(x-9)^2+81/2 x=9の時、2つの辺が等しいとき、斜辺の長さは最小値となり、81/2となる

素直に文章を読んで式を立てることが重要なのと、平方完成させるのを上手く早くできないといけないです。

Qp,qは素数で、p<qであるとする。 xの2次方程2x²-6px+pq=0が整数解を持つ時 (1)整

p,qは素数で、p<qであるとする。
xの2次方程2x²-6px+pq=0が整数解を持つ時
(1)整数解の1つを‪αとする時、pqを‪αと‬pを用いて
積の式であらわせ
(2)p,qの値を求めよ。
(3)この方程式の整数解を求めよ。

これらの問題を教えてください!
お願いします!

Aベストアンサー

宿題くらい友人に聞けばいいのに。

(1)

整数解αを持つので、2α^2-6pα+pq=0が成立。よって、pq=-2α^2+6pα=-2α(α-3p)・・・(答)

(2)

pもqも素数で、答えの式が偶数なので、pかqは2となる。(素数の中で2だけが唯一偶数)

p<qよりp=2となる。よって、2q=-2α(α-6)となるので、q=-α(α-6)

q>0より、-α(α-6)>0なので、α-6<0かつα>0でないといけない。よって、0<α<6であるが、そのうちqが3以上の素数となるのはα=1かα=5の時。

いずれの時もq=5なので、p=2、q=5・・・(答)

(3)

2x^2-12x+10=0よりx^2-6x+5=0より、x=1、5・・・(答)

QD<0でないのはなんでですか?D<0でも異なる2つの解になりますよね?数弱なのでなんで虚数解はダメと

D<0でないのはなんでですか?D<0でも異なる2つの解になりますよね?数弱なのでなんで虚数解はダメとわかるのか教えてください

Aベストアンサー

問題文で
①2つとも正 ➁2つとも負 ③異符号 と問われているので、解の個数の問題ではなく、複素数(虚数を含む)の解は不可です。
そう理解して解かないといけない基本的なルールの部分です。

複素数の範囲で求める場合は、そう明記して問題を出題することが殆どです。

そして、複素数解(虚数解)を除外することで、
判別式Dを利用し ①2つとも正 ➁2つとも負 ③異符号 が求まります。

Q71ですが三次の解と係数との関係を用いずにとくことは出来ませんか?

71ですが三次の解と係数との関係を用いずにとくことは出来ませんか?

Aベストアンサー

題意より (xーα)(x-β)(x-γ)=x³-2x²+x-1・・・①
①にx=1を代入
(1ーα)(1-β)(1-γ)=(1-α-β+αβ)(1-γ)=1-α-β-γ+αβ+αγ+βγーαβγ=-1・・・②
①にx=-1を代入
(-1ーα)(-1-β)(-1-γ)=(1+α+β+αβ)(-1-γ)=-1-α-β-γ-αβ-αγ-βγーαβγ=-5・・・③
x=0代入
-αβγ=-1・・・④
②+③より
2(-α-β-γ)-2αβγ=-6・・・⑤
⑤に4を代入
2(-α-β-γ)ー2=-6
∴α+β+γ=2…⑥
⑥の両辺2乗
α²+β²+γ²+2αβ+2αγ+2βγ=4…⑦
②-3より
2+2αβ+2αγ+2βγ=4
⇔2αβ+2αγ+2βγ=2…⑧
⑧を7に代入
α²+β²+γ²+2=4
⇔α²+β²+γ²=2…⑨
ここまで、④⑥⑧から解と係数の関係で求まる3式の値が求まっているから
α³+β³+γ³の求め方は、解と係数の関係を利用する場合と同様にして求められます。(ということで省略)

Q二桁の整数を8で割ると商と余りが同じ数になりました。 問 このような整数は全部で何個ありますか? 問

二桁の整数を8で割ると商と余りが同じ数になりました。
問 このような整数は全部で何個ありますか?
問 このような整数を全て足すと、合計はいくらになりますか?

教えてください。中学受験になります。

Aベストアンサー

求める整数は 商の8倍に余りを足した数
商と余りが同じなので、余りの8倍に余りを足した数
つまり余りの9倍の数

二桁の整数なので9(余りが1のとき)は駄目
余りが2から7であればOK

よって個数は6個

18+27+36+45+54+63=81*3=243

Q(2)なんですけど、なぜ最後の不等号はイコールがつかないのでしょうか?

(2)なんですけど、なぜ最後の不等号はイコールがつかないのでしょうか?

Aベストアンサー

xの範囲はあってそうなので省略。
問題はyの方
4.5≦y<5.5
「-1」をかけると、(不等号の向きの変化に注意)
-4.5≧-y>-5.5
見やすいように順番を逆にすると、
-5.5<-y≦-4.5
ここまで変形させれば解りますか?

Q虚数が出たとき不適にするパターン?がわかりません、どういうときに不適になるのでしょうか?今回の場合な

虚数が出たとき不適にするパターン?がわかりません、どういうときに不適になるのでしょうか?今回の場合なんで不適なんですか?数弱なので教えてください

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この問題で言えば、接線の方程式を求めるのですから、接線と円の接点は、実数でないといけません。ですから、接点のX座標の二乗がマイナスではダメなのです。だから「不適」なんです。


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