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「ベクトルについて。」の質問画像

A 回答 (1件)

→記号 省略



(1) p、qを実数として
CH=CO+pOA+qOB=pOA+qOB-OC
CH⊥OA より 
CH・OA=0
(pOA+qOB-OC)・OA=0
p|OA|^2+qOB・OA-OC・OA=0
pa^2+qbacos90°-cacos60°=0
pa^2-(1/2)ca=0
p=c/2a

同様にして
CH⊥OB より 
CH・OB=0
q=√2c/2b

よって
CH=(c/2a)OA+(√2c/2b)OB-OC


(2)|CH|^2=|(c/2a)OA+(√2c/2b)OB-OC|^2
=(c^2/4a^2)|OA|^2+(2c^2/4b^2)|OB|^2+|OC|^2+2・(c/2a)・(√2c/2b)OA・OB-2・(√2c/2b)OB・OC-2・(c/2a)OC・OA
=(c^2/4a^2)a^2+(2c^2/4b^2)b^2+c^2+2・(c/2a)・(√2c/2b)abcos90°-2・(√2c/2b)bccos45°-2・(c/2a)cacos60°
=c^2/4+c^2/2+c^2-c^2-c^2/2
=c^2/4

よって
|CH|=c/2


(3)求める体積をVとすると
V=(1/3)△AOB・|CH|=(1/3)・(1/2)ab・(c/2)=(1/12)abc
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Q計算の問題でどうしてこうなるのかわかりません(どうしてこうなった?の部分)

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Q(3)の解き方を教えてください。 答えは30郡の9番目です。

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888が第k群にあるとすると
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870/2 < 444 ≦ 930/2

444-435=9 だから 第30群の9番目

Qこれの答えってどうなりますか?

これの答えってどうなりますか?

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各項が、「等差数列」の項と「等比数列」の項の積になっています。

こういうものは、「等比数列」の公比をかけたものとの「差」をとると、「公差」がうまいこと「定数」になってくれるものが多いです。

やってみれば、求める数列の和は
 Sn = 1*1 + 3*2 + 5*2^2 + 7*2^3 + ・・・・ + (2n - 1)*2^(n - 1)

これに「公比:2」をかけてみると
 2Sn = 1*2 + 3*2^2 + 5*2^3 + 7*2^4 + ・・・・ + (2n - 1)*2^n

この差をとると
 Sn - 2Sn
= 1*1 + (3 - 1)*2 + (5 - 3)*2^2 + (7 - 5)*2^3 + ・・・ + [ (2n - 1) - (2n - 3) ]*2^(n - 1) - (2n - 1)*2^n
= 1*1 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + ・・・ + 2^n - (2n - 1)*2^n

これが
 Sn - 2Sn = -Sn
になるので、
 Sn = (2n - 1)*2^n - (2^2 + 2^3 + 2^4 + ・・・ + 2^n) - 1
  = (2n - 1)*2^n - 2(2^1 + 2^2 + 2^3 + ・・・ + 2^(n - 1)) - 1

カッコの中は、「初項 2、公比 2 の等比数列の和(項数は (n - 1) )」なので、
 2^1 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + ・・・ + 2^n = 2(2^(n - 1) - 1)/(2 - 1) = 2^n - 2
なので

 Sn = (2n - 1)*2^n - 2*(2^n - 2) - 1
  = (2n - 1)*2^n - 2^(n + 1) + 4 - 1
  = [ (2n - 1) - 2 ]*2^n + 3
  = (2n - 3)*2^n + 3

各項が、「等差数列」の項と「等比数列」の項の積になっています。

こういうものは、「等比数列」の公比をかけたものとの「差」をとると、「公差」がうまいこと「定数」になってくれるものが多いです。

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 Sn = 1*1 + 3*2 + 5*2^2 + 7*2^3 + ・・・・ + (2n - 1)*2^(n - 1)

これに「公比:2」をかけてみると
 2Sn = 1*2 + 3*2^2 + 5*2^3 + 7*2^4 + ・・・・ + (2n - 1)*2^n

この差をとると
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= 1*1 + (3 - 1)*2 + (5 - 3)*2^2 + (7 - 5)*2^3 + ・・・ + [ (2n - 1) - (2n - 3) ]...続きを読む

Q中3相似の問題です。 この問題、先生が言うには「2直線が平行だから」が答えらしいですが、復習しようと

中3相似の問題です。
この問題、先生が言うには「2直線が平行だから」が答えらしいですが、復習しようとしたらなんだかよくわからなかったです。2直線ってどれですか??
教えてほしいです…(>_<)

Aベストアンサー

この問題に取り掛かる前に、相似の3条件を確認してください。
確認したらこの問題に掛かります。
相似条件のうち、辺の比について考えるのは少し難しそうです。
そこで、角度2つについて考えます。
図からAE//FDでAF//EDと推測でき、もしその通りなら平行線と角の性質から
角BAC=角BED・・・①(平行線の同位角は等しい)
角ABC=角EBD・・・②(共通)
となるから△ABC∽△EBD がいえます。
同様に△ABC∽△FDCも言えます。
そこで、本当にAE//FDでAF//EDであるか検証します。
ここで、一旦この問題から離れて紙に適当に2つの点を書いて直線で結んでみてください。
次に、この2点が重なるように紙を折ってから開いて、折り目と2点を結ぶ直線との関係をを見てください。
折り目は、2点を結ぶ線の垂直2等分線になっていますよね。(なぜそうなるかは、自分で考えてみてください。三角形の合同を考えれば分かるはず)
このことから、本問でも、EFはADの垂直2等分線となっています。
ADは角Aの2等分線ですから
ADとEFの交点をGとすれば△AEG合同△AFG(1つの辺とその両端の角がそれぞれ等しいから)となるので、EG=FGです。(下図を参考に)
また前述のようにEFはADの垂直2等分線ですから、AG=GDです。
⇒対角線が互いの中点で交わる四角形は平行四辺形ですから
AE//FDでAF//EDは確かなことであると分かります。
ゆえに、回答前半部分の事が言え△ABC∽△EBD 、△ABC∽△FDCと分かります。

説明は長いですが、自分の頭の中で考える場合はさほどに時間がかかりませんから、その点での心配はご無用です。慣れてくれば瞬殺かもしれません^-^

この問題に取り掛かる前に、相似の3条件を確認してください。
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同様に△ABC∽△FDCも言えます。
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Qベクトルについて。

すみません。マルチポストです。
各辺の長さが1で底面ABCDが正方形である四角錐O-ABCDがある。辺OBの中点をP、辺ODをt:(1-t) (0<t<1)に内分する点をQとし、平面APQと辺OCの交点 をRとする。 (1)↑ARを↑AP、↑AQ、tを用いて表せ。
(2)四角形APRQの面積をtで表せ。
教えていただけると幸いです。
で、
(1)
基準点と3つの基本ベクトルを適切に定める(解答者任意)
定める例
点OとOA↑,OB↑,OD↑
点AとAO↑,AB↑,AD↑
四角形ABCDの中心(点Hと呼ぶ)とHA↑,HB↑,HO↑

AP↑、AQ↑を上で定めた基本ベクトルで表す

AR↑を(解答者任意に定める文字3つを使って)2つの方法で基本ベクトルで表す
表し方1:文字1つ:点RはOC上の点
表し方2:文字2つ:点Rは3つの点A,P,Qで定まる平面上にある

同じベクトルの基本ベクトルによる表し方は同じ基本ベクトルの係数が同じになるから
連立方程式(3つの方程式)ができるので、解答者が定めた3つの文字が t で表せる

表し方2を t で書いて終了

(2) うまいやり方が思いつかなかったので地道に

一般論 △ABCの面積は、AB↑,AC↑の大きさと内積が計算できれば求められます
(計算が面倒)

この問題 (1)で考えた基本ベクトルの和で各点は表せるのでベクトルの大きさと内積は計算できます

解き方1(面倒な計算が2回)
四角形を2つの三角形に分解して面積を合計

解き方2(面倒な計算が1回)
(1)の結果よりAP'↑=2*AP↑ となる点P'を考えると
四角形APRQの面積は△AP'Q の面積から△PP'Rの面積を引けば求められて
△AP'Qと△PP'Rの面積比が t を使った比で表せることから△AP'Qの面積を求めて比を使って四角形の面積を計算
教えていただけると幸いです。本当にすみません。
解き方2を詳しく教えていただけないでしょうか?

すみません。マルチポストです。
各辺の長さが1で底面ABCDが正方形である四角錐O-ABCDがある。辺OBの中点をP、辺ODをt:(1-t) (0<t<1)に内分する点をQとし、平面APQと辺OCの交点 をRとする。 (1)↑ARを↑AP、↑AQ、tを用いて表せ。
(2)四角形APRQの面積をtで表せ。
教えていただけると幸いです。
で、
(1)
基準点と3つの基本ベクトルを適切に定める(解答者任意)
定める例
点OとOA↑,OB↑,OD↑
点AとAO↑,AB↑,AD↑
四角形ABCDの中心(点Hと呼ぶ)とHA↑,HB↑,HO↑

AP↑、AQ↑を上で定めた基本ベクトルで表す
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Aベストアンサー

本当に自力で解くつもりがあるのならお助けしたいと考えておりますので準備として
次の5つを示してください

①(一般論)△ABCの面積をAB↑、AC↑で計算する式

②(この問題について)AQ↑、AP↑を
HA↑=a↑、HB↑=b↑、HO↑=o↑を使って表した式
点Hを正方形ABCDの対角線の交点として

③(この問題)点Rは線分QP'をどのように内分しているか
点P'はAP'↑=2*AP↑を満たす点として

④(この問題)△AP'Qの面積をSとしたときの△PP'Rの面積、四角形APRQの面積を表す式(Sとtで)

⑤(この問題)(1)の答

Q(3)の答えは7:20でしたが出し方が分かりません。解説をお願いします

(3)の答えは7:20でしたが出し方が分かりません。解説をお願いします

Aベストアンサー

No1の回答は見てないので、重複してたらすみません!

この問題は、誘導問題なので、
1) △ADG合同△BHGよりBH=AD=3
2) CH=10ーBH=10-3=7

また、△AGF相似△AHC ,AF=FCよりGF=(1/2)・HC=7/2

また、HC平行GF平行ADより △ADE相似△GFEより、AD:GF=ED:GE=7/2 : 3=7:6

ところで、△ADCと△ADBの面積が等しいので、
△EDCと△AEBの面積は等しくなる。したがって
高さが等しい△AGEと△AEBの面積比は、線分GEとBEの比になるから、
S:T= 7:(7+7+6)=7:2

Qベクトルについて。

各辺の長さが1で底面ABCDが正方形である四角錐O-ABCDがある。辺OBの中点をP、辺ODをt:(1-t) (0<t<1)に内分する点をQとし、平面APQと辺OCの交点 をRとする。 (1)↑ARを↑AP、↑AQ、tを用いて表せ。
(2)四角形APRQの面積をtで表せ。
教えていただけると幸いです。

Aベストアンサー

(1)
基準点と3つの基本ベクトルを適切に定める(解答者任意)
定める例
点OとOA↑,OB↑,OD↑
点AとAO↑,AB↑,AD↑
四角形ABCDの中心(点Hと呼ぶ)とHA↑,HB↑,HO↑

AP↑、AQ↑を上で定めた基本ベクトルで表す

AR↑を(解答者任意に定める文字3つを使って)2つの方法で基本ベクトルで表す
表し方1:文字1つ:点RはOC上の点
表し方2:文字2つ:点Rは3つの点A,P,Qで定まる平面上にある

同じベクトルの基本ベクトルによる表し方は同じ基本ベクトルの係数が同じになるから
連立方程式(3つの方程式)ができるので、解答者が定めた3つの文字が t で表せる

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(2) うまいやり方が思いつかなかったので地道に

一般論 △ABCの面積は、AB↑,AC↑の大きさと内積が計算できれば求められます
(計算が面倒)

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△AP'Qと△PP'Rの面積比が t を使った比で表せることから△AP'Qの面積を求めて比を使って四角形の面積を計算

(1)
基準点と3つの基本ベクトルを適切に定める(解答者任意)
定める例
点OとOA↑,OB↑,OD↑
点AとAO↑,AB↑,AD↑
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AP↑、AQ↑を上で定めた基本ベクトルで表す

AR↑を(解答者任意に定める文字3つを使って)2つの方法で基本ベクトルで表す
表し方1:文字1つ:点RはOC上の点
表し方2:文字2つ:点Rは3つの点A,P,Qで定まる平面上にある

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連立方程式(3つの方程式)ができるので、解答者が定め...続きを読む

Q数学です。 この円の、赤の斜線の面積ってどうやって求めるんですか?

数学です。
この円の、赤の斜線の面積ってどうやって求めるんですか?

Aベストアンサー

計算が面倒なので、解き方だけでいいですか?
赤の斜線の上の円の半径を求めないと解は得られません。
赤の斜線の上の円の半径は2つの弧の中点からそれらの弦へ垂線を下して、2つの垂線の交点までがその半径になります。
赤の斜線の上の円の弧の中点から弦を通る直線をy軸とし、弦をx軸として、赤の斜線の上の円の弧と赤の斜線の上の円の弧の中点を結ぶ直線はy=44/129x+22です。
この直線の中点を通りy=44/129x+22に垂直な直線はy=-129/44x+bです。
この直線は中点(ー129/4,11)を通るので11=129²/176+bからb=ー14705/176
距離は正の値なので半径r=|b|=14705/176です。
次に赤の斜線の上の円の弦の長さから、余弦定理でcosθをもとめ、更にθを求めると赤の斜線の上の円の弧部分の面積が
求まります。そこから二辺rの二等辺三角形の面積を除けば、赤の斜線の面積が求まります。

Q確率について。

次の、33,34がわかりません。教えていただけると幸いです。すみません。

Aベストアンサー

同じ数の平均は同じだから
(25/4)と(25/4)の平均は(25/4)
だから
です

Q確率について。

次の35,36がわかりません。教えていただけると幸いです。

Aベストアンサー

36.
ちょうど n 回目のゲームで A が 4 勝先取するというのは、
n-1 回目までに A が 3 勝、B が k 勝(k=0,1,2,3)していて
しかも n 回目のゲームで A が勝つということです。
(n - 1 = 3 + k です。)

n-1 回目までで A が 3勝している確率は、二項確率
((n-1)C3){(1/3)^3}{(2/3)^k} ですから、
ちょうど n 回目のゲームで A が優勝する確率は、
p(n) = ((n-1)C3){(1/3)^3}{(2/3)^(n-4)}・(1/3)
= (1/96)(n-1)(n-2)(n-3)(2/3)^n です。

(1) p(6) = 40/729.

(2) Σ[k=0..3]p(4+k) = 1/81 + 8/243 + 40/729 + 160/2187
= 379/2187.

(3) B が n 回目に優勝する確率 q(n) は、同様に
q(n) = ((n-1)C3){(2/3)^4}{(1/3)^(n-4)} です。
よって、求める期待値 E は、
E = Σ[k=4..7]n・p(n) + Σ[k=4..7]n・q(n)
= 4*1/81 + 5*8/243 + 6*40/729 + 7*160/2187
 + 4*16/81 + 5*64/243 + 6*160/729 + 7*320/2187
= 4012/729 ≒ 5.503 となります。

36.
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しかも n 回目のゲームで A が勝つということです。
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n-1 回目までで A が 3勝している確率は、二項確率
((n-1)C3){(1/3)^3}{(2/3)^k} ですから、
ちょうど n 回目のゲームで A が優勝する確率は、
p(n) = ((n-1)C3){(1/3)^3}{(2/3)^(n-4)}・(1/3)
= (1/96)(n-1)(n-2)(n-3)(2/3)^n です。

(1) p(6) = 40/729.

(2) Σ[k=0..3]p(4+k) = 1/81 + 8/243 + 40/729 +...続きを読む


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