ちくのう症(蓄膿症)は「菌」が原因!?

0≦x<2πにおいてt=sinxとすると、
y=cos2x+2sinx+1は、y=-2t²+2+2となる。
この時のyの最大値、最小値と、その時のxの値を求めよ

また、y=cosxのグラフをx軸に関して対称移動するとy=(ア)のグラフとなる


これらの求め方と答えを教えてください!

A 回答 (1件)

前半は、-1 ≦ t ≦ 1 という定義域での


 y = -2t^2 + 2t + 2 = -2(t - 1/2)^2 + 5/2
の最大・最小を求める問題です。
これが t-y 曲線上で、頂点が (1/2, 5/2) で上に凸の放物線であると分かればすぐ解けるでしょう。
とりあえずグラフを書いてみて。

-1 ≦ t ≦ 1 という定義域に頂点があるので
・t = 1/2 のとき最大。最大値は 5/2。
 0≦x<2パイ で t = sin(x) = 1/2 となるのは x=(1/6)パイ、(5/6)パイ。

・放物線の「軸」t = 1/2 に対する左右対称性から、最小となるのは
 t = -1 のとき。最小値は -2。
 0≦x<2パイ で t = sin(x) = -1 となるのは x=(3/2)パイ。

後半は、「x軸に関して対称移動」するので、同じ x に対して y → -y になるということですよ?
だから
 -y = cos(x)
→ y = -cos(x)
です。
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0<a<1 のとき
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点mの座標は(0、at^2) →点mのy座標=点Cのy座標
点nの座標は(0、(9/4)at^2) →点nのy座標=点Hのy座標=点Fのy座標・・・①
点Hの座標は((1/2)t、at^2+(√3)・t/2 ) →mC:AC:Am=1:2:√3 かつ On=Om(=点Cのy座標)+mn(=Amの半分)より。・・・②

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----------------
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Q三角関数について。

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CH = AC*sin(パイ/2 - θ) = AC*cos(θ)   ←ウ
より
 AH = sin^2(θ)
 CH = sin(θ)*cos(θ) = (1/2)sin(2θ)

ここで
 cos(2θ) = cos^2(θ) - sin^2(θ) = [ 1 - sin^2(θ) ] - sin^2(θ) = 1 - 2sin^2(θ)
より
 sin^2(θ) = (1/2)[ 1 - cos(2θ) ]
なので
 AH = [ 1 - cos(2θ) ]/2   ←エオカ  解答欄に「カッコ」が抜けている? 
 CH = sin(2θ) /2       ←キク

L = AH + CH = 1/2 + [ sin(2θ) - cos(2θ) ] /2

ここで、
 sin(2θ) - cos(2θ) = √2 [ (1/√2)sin(2θ) - (1/√2)cos(2θ) ]
         = √2 [ cos(パイ/4)*sin(2θ) - sin(パイ/4)cos(2θ) ]
         = √2 sin(2θ - パイ/4)
ですから、
 L = (√2 /2)sin(2θ - パイ/4) + 1/2   ←ケコサスセ  あれ「シ」がないね?

0<θ<パイ/2 なので 0<2θ<パイ、従って - パイ/4 < 2θ - パイ/4 < (3/4)パイ であるから
 -√2 /2 < sin(2θ - パイ/4) ≦ 1
よって
 2θ - パイ/4 = パイ/2 つまり 2θ = (3/4)パイ、θ = (3/8)パイ 
のとき、L は最大値
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をとる。       ←ソタチツテ ここも解答欄に「カッコ」が抜けている? 


(2)
S1 = (1/2)BH*CH = (1/2)cos^2(θ) * [ cos(θ)*sin(θ) ] = (1/2)sin(θ)*cos^3(θ)
S2 = (1/2)AH*CH = (1/2)sin^2(θ) * [ cos(θ)*sin(θ) ] = (1/2)sin^3(θ)*cos(θ)

よって
 S1 - S2 = (1/2)sin(θ)*cos(θ)*[ cos^2(θ) - sin^2(θ) ]
     = (1/2) * [ sin(2θ) /2 ] * cos(2θ)
     = (1/4) sin(2θ) * cos(2θ)
     = (1/8) sin(4θ)

0 < θ < パイ/4 なので、0 < 4θ < パイ、従って
 4θ = パイ/2 つまり θ = パイ/8 
のとき、最大値
 1/8
をとる。       ←トナニヌネ

何が分からなくての質問ですか?
ちゃんと図を描いていますか?
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AC = sin(θ)                ←ア
AH = AC*cos(パイ/2 - θ) = AC*sin(θ)   ←イ
CH = AC*sin(パイ/2 - θ) = AC*cos(θ)   ←ウ
より
 AH = sin^2(θ)
 CH = sin(θ)*cos(θ) = (1/2)sin(2θ)

ここで
 cos(2θ) = cos^2(θ) - sin^2(θ) = [ 1 - sin^2(θ) ] - sin^2(θ) = 1 - 2sin^2(θ)
より
 sin^2(θ) = (1/2)[ 1 - cos(2θ) ]
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Q”収束する無限積の積の順序変え”

退職した数学好きの年寄りが、家で頭をひねっています。
よろしく願います。

添付した系1.5の証明についての質問になります。(素数とゼータ関数という本のp12です)

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この時、Π(1+1/p)が発散するので、Π(1-1/p)が0になる事が必要条件だと何となく分かるのですが、ネットを検索しても、中々でてきません。
又、無限積について取り上げている書籍も多くみあたりません。

私は、
ζ(2)はπ^2/6に収束 → Π(1+1/p)=♾でΠ(1-1/p)=0
”Π(1+1/p)=♾でΠ(1-1/p)=0” は ”ζ(2)はπ^2/6に収束"の必要条件と考えています。

この考えが正しい考えか?
と、無限乗積について書かれたwebsiteと書籍をご存知の方
ご回答をよろしくお願いします。

Aベストアンサー

あなたがお気づきの通り考え過ぎですよ。
無限積=部分積という数列の極限値、というもとの定義にかえればよいのです。
表題の無限積の部分積
=1/(ζ(2)に収束する無限積の部分積×無限大に発散する無限積の部分積)
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