kを正の実数とし、log[2]x＝log[4]（2x＋3）＋k..① を考える。 これは、x＞0のと

kを正の実数とし、log[2]x＝log[4]（2x＋3）＋k..①
を考える。
これは、x＞0のとき、
x²＝『ア』^k(2x＋3)と変形できるから、kが全ての実数をとって変化する時、①の解の取り得る値の範囲は
x＞『イ』である。

また、①の解が6となるようなkの値はlog[4]『ウエ/オ』である。


これの解説と解答を教えてください！

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2018/11/29 21:06

kを正の実数とし、log[2]x=log[4](2x+3)+k…①

を考える.
これは、x＞0のとき、
log[4](2x+3)=a
とするとlogの定義から
2x+3=4^a=2^(2a)
↓logの定義から
2a=log[2](2x+3)
↓両辺を2で割ると
a={log[2](2x+3)}/2
↓log[4](2x+3)=aだから
log[4](2x+3)={log[2](2x+3)}/2
↓これを①に代入すると
log[2]x={log[2](2x+3)}/2+k
↓両辺に2をかけると
2log[2]x=log[2](2x+3)+2k
↓2log[2]x=log[2](x^2)だから
log[2](x^2)=log[2](2x+3)+2k
↓両辺からlog[2](2x+3)を引くと
log[2](x^2)-log[2](2x+3)=2k
↓log[2](x^2)-log[2](2x+3)=log[2]{(x^2)/(2x+3)}だから
log[2]{(x^2)/(2x+3)}=2k
↓logの定義から
(x^2)/(2x+3)=2^(2k)=4^k
↓両辺に2x+3をかけると
x^2=(4^k)(2x+3)
と変形できるから,
kが全ての正の実数をとって変化する時,
x^2/(2x+3)=4^k>1だから
↓両辺に2x+3>0をかけると
x^2>2x+3
↓両辺から2x+3を引くと
x^2-2x-3>0
(x+1)(x-3)>0
↓両辺をx+1>1>0で割ると
x-3>0
↓両辺に3を加えると
∴①の解のとり得る値の範囲は
x>3
である.
また,①の解が6となるようなkの値は
4^k=x^2/(2x+3)
↓x=6を代入すると
4^k=6^2/(2*6+3)=36/15=12/5
↓logの定義から
k=log[4](12/5)
である.