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大学数学です。画像の積分がわかりません。分かる方がいたらご教授ください。

「大学数学です。画像の積分がわかりません。」の質問画像

A 回答 (4件)

(1) と (2), 両方解いてみたけど, 簡単すぎるかな.


(1) は部分積分に関しては楽勝なので, その広義積分が収束することの説明が, 得点できるかどうかの分かれ目.
で, (2) を解くのに部分積分って, 本当かな.
高校数学で習う sinA - sinB = ~ って公式を使うだけで, あっさり解けるんだけど.
部分積分を使った鮮やかな解法があるなら, それを実際に示してくれると, 質問者に親切だよね.
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(1) log(x) = u とおけば x = e^u なので


 dx/du = e^u
 x:0→1 のとき u:-∞→0
なので
 与式 = ∫[-∞→0]{ (e^u)^a * u^2 * (dx/du) }du
   = ∫[-∞→0]{ (e^u)^a * u^2 * (e^u) }du
   = ∫[-∞→0]{ (e^u)^(a + 1) * u^2 }du
   = ∫[-∞→0]{ e^(a + 1)u * u^2 }du
あとは部分積分でできます。
    = ∫[-∞→0]{ [ e^(a + 1)u /(a + 1) ]' * u^2 }du
    = [ e^(a + 1)u * u^2 /(a + 1) ][-∞→0] - ∫[-∞→0]{ [ e^(a + 1)u /(a + 1) ] * [u^2]' }du
    = - [2/(a + 1)]∫[-∞→0]{ e^(a + 1)u * u }du
    = - [2/(a + 1)]∫[-∞→0]{ [ e^(a + 1)u /(a + 1) ]' * u }du
    = - [2/(a + 1)][ e^(a + 1)u * u /(a + 1) ][-∞→0] + [2/(a + 1)]∫[-∞→0]{ [ e^(a + 1)u /(a + 1) ] * (u)' }du
    = [2/(a + 1)^2]∫[-∞→0]{ e^(a + 1)u }du
    = [2/(a + 1)^2][ e^(a + 1)u /(a + 1) ][-∞→0]
    = 2/(a + 1)^3

(2) も同じように「部分積分」を使えばできるはず。
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(2)は、


・nが偶数のとき、0
・nが奇数のとき、π
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(1)は、2/(a+1)³

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そのような理由があるからなのか、高校で√23のルートを外す方法を教えている所は少ないと思います.。
ですので、
√23=4.○○○○○・・・ 
とうように小数部分は曖昧に書かせていただきました。
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(そうじゃないと4より√23の方が大きい とはならないから
→→√23も√23=4.000000・・・(以下どこまでも0が続く)なら √23は4とまったく同じで√23=4という事になってしまいますし、まして√23=3.●●●・・・●(●には0から9までの数字のいずれかが入る)だとすれば √23は4より小さいとなってしまうのでいずれの場合も①に不適合です)
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√23=5.●●●・・・●(●には0から9までのいずれかの数字が入る) では前記同様に考えて①に不適合なのです。
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整数部分は2ということは分かるのです。
(ちなみに、 √2≒1.41421356・・・ひとよひとよにひとみごろ
√3≒1.7320508・・・ひとなみにおごれや
√5≒2.2360679・・・ふじさんろくおーむなく
√6≒2.44949・・・・  によよくよく
√7≒2.64575・・・  なにむしいない
受験生なら、これらはごろ合わせで暗記しておくべきです)

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