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高1 数学A

56x-73y=5の整数解を全て求めよ という問題で、解答は x=73k + 4 , y=56k + 3 となっているのですが、
解くと x=17k - 35 , y=56k-115 になってしまいました。なぜこれは合っていないのでしょうか?
互除法で 1=56・7 - 17・23 と出てきたので、5倍して、整数解を求める解き方で解きました。

A 回答 (3件)

>x=17k - 35 , y=56k-115 になってしまいました。

なぜこれは合っていないのでしょうか?

あなたの解いた値が、元の式 56x-73y=5 を満足しますか?

互除法を使うと 次のようになりませんか。
73=56*1+17 → 17=73-56*1 ・・・①
56=17*3+5 → 5=56*1-17*3 ・・・②
② に ① を代入 → 5=56*1-3*(73*1-56*1)
=56*1-73*3+56*3=56*4-73*3 。
つまり、x=4, y=3 が 解の一つになりますね。
(正規の互除法の様に =1 まで計算する必要はありません。
 余りが、問題の式の右辺と同じになれば そこまでで終わりです。)

56x-73y=5 , 56*4-73*3=5 辺々引き算をして、
56(x-4)-73(y-3)=0 → 56(x-4)=73(y-3) 、
56 と 73 はお互いに素であるから、(x-4) は 73 の倍数。
従って、k を任意の整数として x-4=73k と表せる。
これより、x=73k+4 , 同様に y=56k+3 となります。

※ この種の答えは、初めの特殊解の決め方によって
答えの表記が変わりますが、内容は同じになる筈です。
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x=17k - 35 , y=56k-115


k=2の時、x=-1,y=-3
元の式に代入すると56×-1 - 73×-3=163となり、5では無いから間違い。

>>互除法で 1=56・7 - 17・23
17・23の部分が間違い、73・○の形で無いと成立しない。

互除法では56・30-73・23=1
両辺を5倍すると56・150-73・115=5

元の式の辺々を引き算すると
56(x-150)-73(y-115)=0
56(x-150)=73(y-115)


x-150=73k ⇒ x=73k+150
y-115=56k ⇒ y=56k+115

kは任意の整数だから、k=-2の時に回答でのk=0の場合になる。
kを任意の整数にしている訳だからどちらも正解。


56・4-73・3=5も成立するから、これを使って元式と辺々引き算すると
x=73k + 4 , y=56k + 3が直ちに得られる。

どちらも正解。
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17ではユークリッドの互除法の途中式で出てくるので、それだと間違った答えになります。


ユークリッドの互除法を使用して解くと、

73÷56は商1、余り17
56÷17は商3、余り5
17÷5は商3、余り2
5÷2は商2、余り1
5=2*2+1
5-(2*2)=1 …(a)

17=5*3+2
17-(5*3)=2 …(b)

56=17*3+5
56-(17*3)=5 …(c)

73=56*1+17
73-56=17 …(d)

(a)に(b)を代入すると、
5-(2*(17-(5*3))=1
5 + (-2)*17 + 2*5*3=1
5*7 - 2*17=1 …(e)

(e)に(c)を代入すると、
(56-(17*3))*7 - 2*17=1
56*7 - (17*3*7) - 2*17=1
56*7 - 17*23=1 …(f)

(f)に(d)を代入すると、
56*7 - ((73-56)*23)=1
56*7 + 56*23 - 73*23=1
56*30 - 73*23=1 …(g)

(g)の両辺を5倍すると、
56*150 - 73*115=5
x=150, y=115が解の一つになる。

56x-73y=5
56*150 - 73*115=5
56(x-150) - 73(y-115)=0
56(x-150)=73(y-115)

56と73は互いに素である。
x-150=73k, y-115=56k(k:整数)とすると、

x=73k+150, y=56k+115

がユークリッドの互除法を使用した解答になります。

ちなみに、k=k'-2(k':整数)とすると
x=73(k'-2)+150=73k'+4
y=56(k'-2)+115=56k'+3

となり解答例の表記と一致します。
このように、全ての整数解を求める場合、表記は一種類とは限りません。
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①のまま下の公式に当てはめるなら
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={-(2√3)±√(2√3)²-3x1}/3
={-(2√3)±3}/3
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各桁の数字の合計が 3 の倍数であれば 3 の倍数である。

4 の倍数
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5 の倍数
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8 の倍数
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9 の倍数
各桁の数字の合計が 9 の倍数であれば 9 の倍数である。

10 の倍数
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11 の倍数
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証明は省きますので、自力もしくは別の資料で...

2の倍数
1の位が 0 2 4 6 8 のいずれかであれば 2 の倍数である。

3 の倍数
各桁の数字の合計が 3 の倍数であれば 3 の倍数である。

4 の倍数
10 の位の2倍と 1 の位の和が 4 の倍数ならば 4 の倍数である。

5 の倍数
1 の位が 0 5 のいずれかであれば 5 の倍数である。

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7 の倍数
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(1+Y/X)³=1+3(Y/X)+3(Y/X)²+(Y/X)³__④
この形を二項級数という。Y/X=xとし、左辺の指数をαとすると
(1+x)^α=1+αx+α(α-1)x²/2!+α(α-1) (α-2)x³/3!+・・・__⑤
が成立する。
αが正の整数の時は、式⑤はx^αの項で終わるが、αが正の整数でないときは、⑤は無限級数になってしまう。そして、この級数は|x|<1でないと収束しない。α=1/2のときは⑥、α=1/3のときは⑦となる。
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=1+(1/2) x-(1/8) x²+(1/16) x³+・・・__⑥
(1+x)^(1/3)
=1+(1/3) x+(1/3) ((1/3)-1)x²/2!+(1/3) ((1/3)-1) ((1/3)-2)x³/3!+・・・
=1+(1/3) x-(1/9) x²+(5/81) x³+・・・__⑦
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(1+Y/X)^(1/2)=1+(1/2)(Y/X)-(1/8) (Y/X)²+(1/16)(Y/X)³+・・・
(X +Y)^(1/2)=X^(1/2){1+(1/2)(Y/X)-(1/8)(Y/X)²+(1/16)(Y/X)³+・・・}__⑦
となるが、|Y/X|<1であれば、⑦は近似式として成立する。
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二項定理は
(X+Y)²=X²+2XY+Y²__①
(X+Y)³=X³+3X²Y+3XY²+Y³__②、などの形を持つ。
これを次の形に書くことができる。
(1+Y/X)²=1+2(Y/X)+(Y/X)²__③
(1+Y/X)³=1+3(Y/X)+3(Y/X)²+(Y/X)³__④
この形を二項級数という。Y/X=xとし、左辺の指数をαとすると
(1+x)^α=1+αx+α(α-1)x²/2!+α(α-1) (α-2)x³/3!+・・・__⑤
が成立する。
αが正の整数の時は、式⑤はx^αの項で終わるが、αが正の整数でないときは、⑤は無限級数になってしまう。そして、この級数は|x|<1でないと収束しない。α=1/2のときは⑥、α=1/3のときは⑦...続きを読む

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