高1 数学A 56x-73y＝5の整数解を全て求めよ という問題で、解答は x＝73k + 4 ,

高1 数学A

56x-73y＝5の整数解を全て求めよ という問題で、解答は x＝73k + 4 , y＝56k + 3 となっているのですが、
解くと x＝17k - 35 , y＝56k-115 になってしまいました。なぜこれは合っていないのでしょうか？
互除法で 1＝56・7 - 17・23 と出てきたので、5倍して、整数解を求める解き方で解きました。

No.3 回答者： kairou 回答日時： 2018/12/02 14:09

＞x＝17k - 35 , y＝56k-115 になってしまいました。

なぜこれは合っていないのでしょうか？

あなたの解いた値が、元の式 56x-73y=5 を満足しますか？

互除法を使うと 次のようになりませんか。
73=56*1+17 →　17=73-56*1 ・・・①
56=17*3+5　→　5=56*1-17*3 ・・・②
② に ① を代入　→　5=56*1-3*(73*1-56*1)
=56*1-73*3+56*3=56*4-73*3 。
つまり、x=4, y=3 が 解の一つになりますね。
（正規の互除法の様に =1 まで計算する必要はありません。
　余りが、問題の式の右辺と同じになれば そこまでで終わりです。）

56x-73y=5 , 56*4-73*3=5 辺々引き算をして、
56(x-4)-73(y-3)=0 →　56(x-4)=73(y-3) 、
56 と 73 はお互いに素であるから、(x-4) は 73 の倍数。
従って、k を任意の整数として x-4=73k と表せる。
これより、x=73k+4 , 同様に y=56k+3 となります。

※ この種の答えは、初めの特殊解の決め方によって
答えの表記が変わりますが、内容は同じになる筈です。

No.2 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2018/12/02 12:23

x＝17k - 35 , y＝56k-115

k=2の時、x=-1,y=-3
元の式に代入すると56×-1 - 73×-3=163となり、5では無いから間違い。

>>互除法で 1＝56・7 - 17・23
17・23の部分が間違い、73・○の形で無いと成立しない。

互除法では56･30-73･23=1
両辺を5倍すると56･150-73･115=5

元の式の辺々を引き算すると
56(x-150)-73(y-115)=0
56(x-150)=73(y-115)

∴
x-150=73k ⇒ x=73k+150
y-115=56k ⇒ y=56k+115

ｋは任意の整数だから、k=-2の時に回答でのk=0の場合になる。
ｋを任意の整数にしている訳だからどちらも正解。


56･4-73･3=5も成立するから、これを使って元式と辺々引き算すると
x＝73k + 4 , y＝56k + 3が直ちに得られる。

どちらも正解。

No.1 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2018/12/02 12:10

17ではユークリッドの互除法の途中式で出てくるので、それだと間違った答えになります。

ユークリッドの互除法を使用して解くと、

73÷56は商1、余り17
56÷17は商3、余り5
17÷5は商3、余り2
5÷2は商2、余り1
5=2*2+1
5-(2*2)=1 …(a)

17=5*3+2
17-(5*3)=2 …(b)

56=17*3+5
56-(17*3)=5 …(c)

73=56*1+17
73-56=17 …(d)

(a)に(b)を代入すると、
5-(2*(17-(5*3))=1
5 + (-2)*17 + 2*5*3=1
5*7 - 2*17=1 …(e)

(e)に(c)を代入すると、
(56-(17*3))*7 - 2*17=1
56*7 - (17*3*7) - 2*17=1
56*7 - 17*23=1 …(f)

(f)に(d)を代入すると、
56*7 - ((73-56)*23)=1
56*7 + 56*23 - 73*23=1
56*30 - 73*23=1 …(g)

(g)の両辺を5倍すると、
56*150 - 73*115=5
x=150, y=115が解の一つになる。

56x-73y＝5
56*150 - 73*115=5
56(x-150) - 73(y-115)=0
56(x-150)=73(y-115)

56と73は互いに素である。
x-150=73k, y-115=56k（k：整数）とすると、

x=73k+150, y=56k+115

がユークリッドの互除法を使用した解答になります。

ちなみに、k=k'-2（k'：整数）とすると
x=73(k'-2)+150=73k'+4
y=56(k'-2)+115=56k'+3

となり解答例の表記と一致します。
このように、全ての整数解を求める場合、表記は一種類とは限りません。