フィボナッチ数列a_nについて (n,m)=1ならば(a_n,a_m)=1となることを用いて、素数が

フィボナッチ数列a_nについて
(n,m)=1ならば(a_n,a_m)=1となることを用いて、素数が無数に存在することをしめしたいのですが、
素数をp_1,......,p_kしかないと仮定とするとp_1,......,p_kは互いに素でこれから(a_p_i,a_p_j)=1 (i≠j)
が成り立ちます。ここでa_p_1,.....,a_p_kのうちひとつでも素因子を二つ以上持つことが示されれば
a_p_1......a_p_kが素因子をk以上持つので素数がk個しかないという仮定に反する。という証明ができるのですがa_p_1,.....,a_p_kのうちひとつでも素因子を二つ以上持つことはどうのように示せばいいのでしょうか？

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2018/12/07 16:51

a(1)=1

a(2)=1
a(3)=2
a(4)=3
a(5)=5
a(6)=8
ある自然数n≧6に対して
a(n-1)≧n-1
a(n)>n+1
が成り立つと仮定すると
a(n)>n+1>n

a(n+1)-(n+2)
=a(n)+a(n-1)-n-2
>n-1+n+1-n-2
=n-2
↓n≧6だから
>0

a(n+1)>n+2
だから
6以上の全ての自然数nに対して
a(n)>n+1>n
が成り立つから
p(k)を最大素数とすると
a(p(k))>p(k)+1>p(k)
a(p(k))が素数だと仮定すると
p(k)が最大素数である事に矛盾するから
a(p(k))は素数ではない