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標準正規分布f(x)=1/√(2π)exp(-σ^2/2)に従う独立同一分布のn個の標本X1,X2,...,Xnの標本平均をXbarとする。
1.標本平均Xbarが正規分布に従うことを示せ。
2.標本平均Xbarの期待値を導出せよ。
3.標本平均の分散V(Xbar)を導出せよ。
という問題がどう解いて良いのか分かりません。教えて下さい。お願いします。

質問者からの補足コメント

  • 問題の修正です。
    f(x)=1/√(2π)exp(-σ^2/2)ではなく、
    f(x)=1/√(2π)exp(-x^2/2)です。

      補足日時:2018/12/10 13:01

A 回答 (2件)

回答が付きませんね。



1. 正規分布の「線形性」:
 X が正規分布に従えば、aX + b (a, b:任意の定数)も正規分布に従う
を示せばよいのではないでしょうか。
https://to-kei.net/distribution/normal-distribut …

 それが示せれば
  Xbar = (X1 + X2 + ・・・ + Xn)/n
も正規分布に従うといえます。

あるいは、「中心極限定理」そのものでもよいのかもしれません。
https://bellcurve.jp/statistics/course/8543.html

2. E[Xbar] = E[ (X1 + X2 + ・・・ + Xn)/n ]
 = (1/n)E[ X1 + X2 + ・・・ + Xn ]
 = (1/n){ E[X1] + E[X2] + ・・・ + E[Xn] }
 = (1/n){ 0 + 0 + ・・・ + 0 }
 = 0

3. X1, X2, ・・・ Xn はランダム(互いに独立)なので
V[Xbar] = V[ (X1 + X2 + ・・・ + Xn)/n ]
 = (1/n)^2 V[ X1 + X2 + ・・・ + Xn ]
 = (1/n)^2 { V[X1] + V[X2] + ・・・ + V[Xn] }
 = (1/n)^2 { 1 + 1 + ・・・ + 1 }
 = 1/n
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回答が付かないから、書きますけど、



最初のf(x)の定義がxを含んでいなので、誰だって、どう解いて良いのか分からないと思います。
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②ちなみに上記のようにグループが複数あって二つや一つのグループのYesと言う傾向が違うということを言いたいときはどのような検定を使うべきなのでしょうか。(①の数値は適当な数値ですのでここでは関係なく考えてください)

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#1さんの繰り返しになると思いますが、補足と言うことで・・・。

> 帰無仮説は常にA=B(等しい)とすると考えていいのでしょうか?

違います。A>BもしくはA<Bもあります。


・検定では、積極的に言いたいことを「対立仮説」にします。
・もし有意になれば、対立仮説は「第一種の過誤α」のもとで積極的に言えます。αは有意水準とも言います。
・ところが「対立仮説」がA≠Bのとき、もしそれが有意にならなかったとしても、「差が無い」と言ってはいけません。(ネットにはこう言っている輩もいますが信じないでください)
・#2さんも書いてみえますように、正しくは「差があるとは言えない」というのが結論です。何とも歯がゆいです。
・なぜ、このとき「差が無い」と言いきれないのかは、「第二種の過誤β」があるからです。私は若い頃「ぼんやり者の誤り」と学びました。
・そこで、ジェネリック医薬品のように「差が無い」ことを「積極的に」言いたいときは、「差が無い」ことを対立仮説にするのです。
・「A=B」が対立仮説になります。
・このとき、対立仮説の排他事象「A≠B」「A>B」が帰無仮説になります。#1さんが書かれていることです。
・これらをそれぞれ「同等性の検定」「非劣性の検定」と言います。

以上より、「帰無仮説は常にA=B(等しい)とする」は間違いです。
詳しくは、医薬系のテキストに書いてあります。

ところで、
・仮説H(ハイパーセセス)の添え字は、ネイマン・ピアソンの頃は帰無仮説はHo(小文字のオー)だったんですよ。
・今はH0(ゼロ)です。ナル・ハイパーセセスです。
・対立仮説は、H1、H2というように連番を振ります。
・でも、このようにたくさんの仮説を検討するときは「多重比較」「多重検定」と言って、むやみに有意になる可能性があります。
・有意水準αとは、もし差が無くても差があると言ってしまう確率、危険率ですよね。「あわて者の誤り」とも言います。ですから、全く差が無くても、たくさん検定すれば一定割合で有意になるのです。
・そこで有意水準を調整するなどの方法が採用されます。有意水準を調整するのはボンフェローニの多重比較です。そのほかに、ダネット、テューキーなどがあります。

α、β、重要です。

企業でSQCを推進する立場の者です。博士(工学)です。
#1さんの繰り返しになると思いますが、補足と言うことで・・・。

> 帰無仮説は常にA=B(等しい)とすると考えていいのでしょうか?

違います。A>BもしくはA<Bもあります。


・検定では、積極的に言いたいことを「対立仮説」にします。
・もし有意になれば、対立仮説は「第一種の過誤α」のもとで積極的に言えます。αは有意水準とも言います。
・ところが「対立仮説」がA≠Bのとき、もしそれが有意にならなかったとしても、「差が無い」と言ってはいけま...続きを読む

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xの平均=1/n×Σ[i=1,n]xiで定義されるxの平均の分散を求めよという問題の解き方が分かりません。教えていただけませんか。よろしくお願いします。

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問題文は正確に全文書かれていますか?

>xの平均=1/n×Σ[i=1,n]xi

はい、これは xi (i=1~n) という要素(データ、統計量)に対する「平均」ということです。

>xの平均の分散

どのような要素を想定しての「分散」なのですか?
「x の平均」が1つしか存在しないのなら、その「分散」は定義できません。
「x の分散」なら、「x の平均:xbar = (1/n) × Σ[i=1,n]xi 」を使って
  σ² = (1/n) × Σ[i=1,n](xi - xbar)²
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 s²/m = Σ[i=1,n](xi - xbar)² /[ m(n - 1) ]
になります。

問題文は正確に全文書かれていますか?

>xの平均=1/n×Σ[i=1,n]xi

はい、これは xi (i=1~n) という要素(データ、統計量)に対する「平均」ということです。

>xの平均の分散

どのような要素を想定しての「分散」なのですか?
「x の平均」が1つしか存在しないのなら、その「分散」は定義できません。
「x の分散」なら、「x の平均:xbar = (1/n) × Σ[i=1,n]xi 」を使って
  σ² = (1/n) × Σ[i=1,n](xi - xbar)²
です。

ある母集団から採取した「n 個の標本」の平均に対して、このような「n個の標本」を...続きを読む

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Aベストアンサー

二項分布です。

(前半)
n 回取り出して、赤が k 回である確率は
 P(n, k) = nCk * p^k * (1 - p)^(n - k)
です。

(1) 赤を取り出す確率は、1000個のうちの7個ですから p=7/1000。n = 500 のとき、赤が k 回出る確率は
 Pk = 500Ck * (7/1000)^k * (993/1000)^(500 - k)

(2) 二項分布の期待値、分散は
 E[X] = np = 500 * 7/1000 = 3.5
 V[X] = np(1 - p) = 500 * 7/1000 * 993/1000 = 3.4755

どうしてこういう公式になるのかは、テキストを復習してください。

(後半)
サイコロを n 回振って、1の目が k 回出る確率は
 P(n, k) = nCk * (1/6)^k * (5/6)^(n - k)

(1) n=4 のとき、k=0 の確率は
 P(4, 0) = 4C0 * (1/6)^0 * (5/6)^4 = 625/1296
k=2 の確率は
 P(4, 2) = 4C2 * (1/6)^2 * (5/6)^2 = 6 * 25/1296 = 25/216
k=4 の確率は
 P(4, 4) = 4C4 * (1/6)^4 * (5/6)^0 = 1/1296 = 25/216

(2) 二項分布の期待値、分散なので
 E[X] = np = 4 * 1/6 = 2/3
 V[X] = np(1 - p) = 4 * (1/6) * (5/6) = 5/9

二項分布です。

(前半)
n 回取り出して、赤が k 回である確率は
 P(n, k) = nCk * p^k * (1 - p)^(n - k)
です。

(1) 赤を取り出す確率は、1000個のうちの7個ですから p=7/1000。n = 500 のとき、赤が k 回出る確率は
 Pk = 500Ck * (7/1000)^k * (993/1000)^(500 - k)

(2) 二項分布の期待値、分散は
 E[X] = np = 500 * 7/1000 = 3.5
 V[X] = np(1 - p) = 500 * 7/1000 * 993/1000 = 3.4755

どうしてこういう公式になるのかは、テキストを復習してください。

(後半)
サイコロを n 回振って、1の目が...続きを読む


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