痔になりやすい生活習慣とは?

(0,1)上の一様分布f(x)=[0→x≦0,1→0<x<1,0→x≧1]に従う独立同一分布のn個の標本X1,X2,...,Xnの標本平均をXbarとする。
1.標本平均Xbarの期待値を導出せよ。
2.標本平均の分散V(Xbar)を導出せよ。
という問題についてですが、
1.は、確率密度関数f(x)=1,0<x<1とすると、E(Xbar)=∫[0→1]xdx=1/2となる。で合っていますか?
2.は、V(Xbar)=∫[0→1](x-1/2)^2dx=1/12で合っていますか?
よろしくお願いします。

A 回答 (1件)

企業でSQCを推進する立場の者です。



平均は、1次の積率
分散は、2次の中心積率

まったく、定義通りの計算であり、合っています。

敢えて、意見するなら、∫g(x)f(x)dexで、密度関数の1を省略せずに書いておくと、採点者がいる場合は、採点者受けすると思います。
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「x の平均」が1つしか存在しないのなら、その「分散」は定義できません。
「x の分散」なら、「x の平均:xbar = (1/n) × Σ[i=1,n]xi 」を使って
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ですから、①は
 s²/m = Σ[i=1,n](xi - xbar)² /[ m(n - 1) ]
になります。

問題文は正確に全文書かれていますか?

>xの平均=1/n×Σ[i=1,n]xi

はい、これは xi (i=1~n) という要素(データ、統計量)に対する「平均」ということです。

>xの平均の分散

どのような要素を想定しての「分散」なのですか?
「x の平均」が1つしか存在しないのなら、その「分散」は定義できません。
「x の分散」なら、「x の平均:xbar = (1/n) × Σ[i=1,n]xi 」を使って
  σ² = (1/n) × Σ[i=1,n](xi - xbar)²
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↓ こんなサイトを参照ください。
http://www.tagen.tohoku.ac.jp/labo/ishijima/gosa-01.html

数学的には、テイラー展開を使って求めたものであり、それで証明できます。
興味があれな自分でもやってみるとよいです。

ちなみに、与えられた式については

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   = (1/n)Σ[i=1~n](xi^2) - 2*xbar*(1/n)Σ[i=1~n]xi + (1/n)n*(xbar^2)
   = (1/n)Σ[i=1~n](xi^2) - 2*xbar*(1/n)Σ[i=1~n]xi + xbar^2

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第2項は
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なので

 分散 = 2740 - 2704 = 36

従って

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この意味は何?

標準偏差の2乗が「分散」です。x の平均値を xbar と書きます。

 分散 = (1/n)Σ[i=1~n](xi - xbar)^2

ということは知っていますよね?

これを使えば

 分散 = (1/n)Σ[i=1~n](xi - xbar)^2 = (1/n)Σ[i=1~n](xi^2 - 2xi*xbar + xbar^2)
   = (1/n)Σ[i=1~n](xi^2) - (1/n)Σ[i=1~n]2xi*xbar + (1/n)Σ[i=1~n](xbar^2)
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