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(1)
AB=2AC,cosA=9/16の△ABCにおいて、
BCを直径とする半円をBCに関して頂点Aと反対側に作る。
辺BCを2:1に内分する点をPとし、
直線APと半円との交点をQとする。
AQベクトル=αABベクトル+βACベクトルとするとき、
αの値とAP:PQの比を求めよ。

この問題であと少しで解けそうな所までいったんですけど
αとβの2次方程式がでてきて、しかも因数分解できません。
CQ⊥BQを用いてα、βの値を出そうと思って
ABベクトル・ACベクトル=lABl×2lABl×cosA=9/8lABl2乗
lACl2乗=4lABl2乗という風にlABlを基準にして解いたら
α2乗+α(9/4β-17/8)+4β2乗-41/8β+9/8=0
という式がでてきました。
分数が入っていて分かりにくいので頭パニックです。
どこが違っているのか、アドバイス下さい。


(2)
△ABCにおいて、∠Aの2等分線と辺BCの交点をDとし、
その外接円の中心をOとする。
AB=2、AC=3、∠A=θ、1/2ABベクトル=bベクトル、
1/3ACベクトル=cベクトルとするとき、
AOベクトルをbベクトル、cベクトル、θで表せ。

これも途中の式で頭がパニックになりました。
AB、ACの中点をそれぞれM、NとするとOM⊥AM、ON⊥AN
AOベクトル=sbベクトル+tcベクトル(s・tは実数)とおく
lAMl=lANl=lmlとするとlbl=lml、lcl=2/3lmlとかける
bベクトル・cベクトル=2/3lml2乗cosθ
lbl2乗=lml2乗
lcl2乗=4/9lml2乗
以上より
lml2乗(1-s-2/3tcosθ)=0
lml2乗(-scosθ+1-2/3t)=0
それぞれ両辺lml2乗で割ったあとから分からなくなりました。
どこが間違っているのか、アドバイス下さい。

A 回答 (3件)

まず(2)について


>どこが間違っているのか、アドバイス下さい。
合っていますよ。
ただ高校生なら誰でも1度は勘違いするポイントがあって
そこでつまずいているだけです。
よーく問題文を見てください。
>AOベクトルをbベクトル、cベクトル、θで表せ。
θで表せ、とあるでしょう。
つまり、答えの中にθが入っていてもいいよ、
と出題者は言っているのです。
もっというと、答えの中にcosθやsinθやtanθが入っていてもいい、のです。
ですから、
1-s-2/3tcosθ=0
-scosθ+1-2/3t=0
をs,tの連立方程式とみて普通に解けばいいんですよ。
上の式よりs=1-2/3tcosθなのでこれを下の式の代入して整理すると
(2cosθ^2-2)t=3cosθ-3
よって、
t=3(cosθ-1)/2(cosθ^2-1)=3/2(cosθ+1)
(分母を因数分解するとcosθ-1で割れますね。)
またs=cosθ/(cosθ+1)
と分かります。これを
AOベクトル=sbベクトル+tcベクトル
に代入すればOKです。

(1)について
chemistryさんは
>CQ⊥BQを用いてα、βの値を出そうと
したようですが、この条件だけでは残念ながら答えは出ません。
CQ⊥BQという条件は点Qは円周上にあるよ、
といっているだけですから点Qの位置が特定できませんね。
それにα、βという2つの分からないものを求めたいのですから
条件が2つ、つまり方程式が2つ必要です。
(これ大事です。問題を解くときには常に次のことを意識すると良いですよ。
未知数の数と同じ個数の方程式が(普通は)作れるはず)
そこで点Qの位置を決める条件を考えますと
1つは、点Qが円周上にあるための条件
もう1つはnikorinさんのおっしゃるように
3点A,P,Qが一直線上にあるための条件
ですね。
nikorinさんのようにCQ・BQ=0をkで表してもよいですし、
2つ目の条件はβ=2αと表せますから、それをchemistryさんの努力の結晶の
>α2乗+α(9/4β-17/8)+4β2乗-41/8β+9/8=0
に代入しても答えが出ます。
なお、点Qが円周上にあるための条件は
半円の中心をMとして
MQ=BCの半分の長さ
ととらえてもOKです。
ただし、いずれの方法も超めんどくさい計算を経て
2次方程式がでてきますが、因数分解できず
めちゃめちゃ汚い答えになります。
こういう問題は多少の計算ミスは気にしなくていいと思いますよ。

長々と書いてしまってごめんなさい。
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(1)のヒント


APとAQは同一直線状にあるから、AQ=kAPと書けますよね。
これを使うと、CQ・BQ=0はkだけで表せますよ。
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今考え中ですが、困り度3と言うことで気づいたところまで、


>AB=2AC,
>...
>lACl2乗=4lABl2乗
逆では?
4lACl2乗=lABl2乗
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