a,bを a=b=0 でない2つの整数とするとき

a*r + b*s =(a,b)
      のような整数 r,s が存在する
---------------------------------------
という定理があって、この定理を使って
次の定理を証明せよ、という問題なのですが…

d=(a,b)
整数 n は、 n|d のとき、その時に限り
a と b の公約数である
… n|d は dはnで割り切れるという意味


どういうふうに導くのかわかりません。
d=(a,b)= a*r + b*s = t*n  (tは整数)
とおく、ここまで何となくやってみたのですが…
「公約数」であることを示す方法、目標が見えません。

教えてください。

A 回答 (2件)

n|d ⇒ 公約数 を示すのは簡単ですよ.∃r,s a*r + b*s = dは使わなくてもできますね.



dはaの約数なので,

a = p * d = p * q * n

などと表せ,nがaの約数であることがわかります.bについても同様ですね.

公約数 ⇒ n|d を示すのは,a*r + b*s = dを使うとできるようです.
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この回答へのお礼

この回答をもらって、しばらく悩んでいました。
両方向から、攻めればいいんですね。

公約数→n|d にかなり悩まされましたけど、
解けてみればなんてことない…でも、すっきりして面白いですね。

とても参考になりました、ありがとうございました。

お礼日時:2001/07/24 22:30

(a,b)の定義がないので定理と言われても何を主張した定理なのか分かりませんが、文脈から察するにa=2, b=3に対して12が


    12 = 2*3 + 3*2
のようにa*r + b*sの形に表せるような整数r, sが存在するとき、
    12 = (2,3)
と表すと言う事でしょうか?
それにしても左辺は一つの数を表していますが右辺は数の性質を表していて、これを等号で結んでしまって良いのでしょうか?

しかし(a,b)の定義に関しては求められている証明にはあまり関係ないので置いておきましょう。
    n|(a*r + b*s) ⇔ n|a かつ n|b
を証明すれば良いんですよね?しかし証明は出来ません。なぜなら反例があるからです。
a=2, b=3, r=2, s=1, n=7 とおくと
    n|(a*r + b*s) ⇔ 7|7 ⇔ true
ですが
    n|a ⇔ 7|2 ⇔ false
    n|b ⇔ 7|3 ⇔ false
です。

何か問題を読み違えていらっしゃいませんか?

この回答への補足

すみません、何の前置きもなく書いてしまいました。

(a,b) というのは、aとbの最大公約数です。
ものによっては gcd(a,b)とも書いてあります。

補足日時:2001/07/24 19:57
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= { 1 + q[m-3]・q[m-4] }・x[m-5] - { q[m-3] + q[m-5] + q[m-3]・q[m-4]・q[m-5] }・x[m-4]
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= { ぺんた...続きを読む

Q証明写真撮影のライティング

証明写真撮影に特化したライティング機器設置位置の質問です。
機材は
ニコンD50 18-55mm 標準ズーム
180Wモノブロックストロボ(ガイドナンバ:36)×2
(モデリングランプ50wハロゲン)
白アンブレラ80cm×2
ソフトボックス60×60cm×1
ソフトボックス70×100cm×1
ライトスタンド×2
背景影消し用ストロボ×1

撮影環境は
バックはグレーのロールスクリーン
そこから50cmに被写体
更に被写体からカメラまで1m70cm
両脇は白壁(幅1m50cm)となっております。
光源は蛍光灯で自然光は入りません、蛍光灯の消灯は不可です。
天井は2m60cmあります
この限られたスペースで効率の良いライティング位置をなるべく具体的に教えていただけると幸いです。
宜しくお願いいたします。

Aベストアンサー

あなたはどのような写真を撮りたいですか?
下の方とダブりますが、下記のページの右側の上と下の写真を見て考えてみてください。(後でまた見ますので別タブで開いてください。)
http://www.photofactory.co.jp/shoumeishashin2.html

 上の写真のように正面からストロボを発光させれば、全体的に明るい写真は撮れますが、フラットな感じになります。

 下のようにメインとなるストロボを斜め上方から当てると、人物に当たる光量の差(ストロボに近い部分ほど明るくなる)により立体感を表現することができます。
 この場合は下記のようにストロボをセットします。
http://fujifilm.jp/business/photo/fotorama/advice001.html

 ・基本スタンバイにあるカメラの位置はフジの場合ですから気にする必要はありません。
 ・影消しストロボについてです。一番上のURLの4枚の写真の背景を見てください。
  左上は全体的に均一で明るくなっていますが、他は下のほうが明るく上に行くに従って少しずつ暗くなっています。
  これは、ストロボの中心部をどこに向けるかで調整できます。
  フジの場合は頭部あたりを照らしているので発光量により異なりますが、背景は全体的に明るく写ると思います。
  ストロボの高さを低くすれば頭部辺りが暗めになります。高さが調整できない場合は角度で調整してください。
 このように調整しても背景が明るすぎる場合は人物と背景の距離を大きくします。

 次はライティングを入れたスタンバイ についてです。
 ・フジはメイン、フロントの両方とも上方30度の角度から照射しています。
  共に上方から照射したのであごのあたりの影が目立つことを考慮して、モデルの前方にレフを入れています。
 レフがなければテーブルにコピー用紙等を敷き詰めて配置するといいです。側面のレフはなくてもフロントである程度コントロールできます。

 ・メインの角度はフジの場合30度になっていますが、一般的には上方に45度以上が多いです。余裕があれば角度を変えて描写の違いを確認してみてください。

 ・ストロボと人物の頭部との距離はとりあえず、メインは1.4メートル、フロントは2メートルに設置してください。
  この後テスト撮影して、顔の部分の影が目立つようであればメインの光量を落とします。距離を1.5、1.6メートル・・・のように大きくするか、フロントを近づける。ストロボとアンブレラの距離で調整できるものもあります。

 逆にフラットな場合にはメインの光量を上げます。(上の逆)
 これは使用するアンブレラや、壁、天井、床の色の違い等により影のでき方が異なりますので、このように実際に撮影して調整してください。

 再度“髪の部分に注意して”一番上のURLの4枚の写真を見てください。
 ・右下だけ髪が明るくなっていますね。これは頭の上からストロボを発光させたからです。
  もしカメラの外付けストロボをお持ちでしたら、発光部にエンビの筒か、厚紙を丸めて筒状にしたものをテープなどで取り付けて、照射角度を狭めて髪の部分にだけ当たるようにして発光させればこのような写真を写すことが出来ます。ただし設置ができないと思いますので助手の方に高い位置から照射してもらうことになりますか・・・。
  そしてスレーブユニットも必要になります。
http://www.biccamera.com/bicbic/jsp/w/catalog/list.jsp?DISP_CATEGORY_ID=033011&PARENT_CATEGORY_ID=03&BACK_URL=camera/index.jsp&SPEC_VALUE1=033011,014,%83X%83%8C%81%5B%83u,,1,

 ところでカメラの設定のほうは問題ありませんか。

 専用ストロボであれば露出やホワイトバランスは自動で問題はないと思いますが、この場合はどうなのでしょう。

 オートでうまく撮れない場合にはマニュアルで撮影します。
 RAWで撮影し、シャッタースピードはX接点。
 絞りは、フラッシュメーターがない場合には絞りを一段ずつ変えて5~6枚撮影し、それらを液晶モニターで見て、その中から適正に近いもののF値を選びます。
 最後に、現像時に露出、ホワイトバランスを調整するといいです。

あなたはどのような写真を撮りたいですか?
下の方とダブりますが、下記のページの右側の上と下の写真を見て考えてみてください。(後でまた見ますので別タブで開いてください。)
http://www.photofactory.co.jp/shoumeishashin2.html

 上の写真のように正面からストロボを発光させれば、全体的に明るい写真は撮れますが、フラットな感じになります。

 下のようにメインとなるストロボを斜め上方から当てると、人物に当たる光量の差(ストロボに近い部分ほど明るくなる)により立体感を表現することが...続きを読む

Q不等式 |a-b|<(1/2)|b| ならば |a|>(1/2)|b| (a,b:複素数) の証明

解析の本で
ある複素数列がある複素数に収束するとき
その逆数の数列が収束値の逆数に収束する証明で使われています。
なんか自明のように使われていました。

虫のいいお願いですが、
複素平面を利用した幾何的な証明と
代数的な(式による)証明と
いただけるとうれしいです。

Aベストアンサー

幾何的証明は図を描けば明らかなので、代数的証明を。


|a-b|≧|b|-|a|が成立すれば、
|a|≧|b|-|a-b|>|b|-(1/2)|b|=(1/2)|b|
となるので、|a-b|≧|b|-|a|を証明することにします。


a=a1+ia2、b=b1+ib2、とおくと、
(|a-b|)^2-(|b|-|a|)^2
=(a1-b1)^2+(a2-b2)^2-(a1^2+a2^2+b1^2+b2^2-2|a||b|)
=2(|a||b|-a1b1-a2b2)

ここで、
(|a||b|)^2-(a1b1+a2b2)^2
=(a1^2+a2^2)(b1^2+b2^2)-(a1^2*b1^2+a2^2*b2^2+2a1a2b1b2)
=a1^2*b2^2+a2^2*b1^2-2a1a2b1b2
=(a1b2-a2b1)^2≧0
なので、
(|a-b|)^2-(|b|-|a|)^2≧0

∴|a-b|≧|b|-|a|



なお、|a||b|-(a1b1+a2b2)≧0 は、
内積 a・b=a1b1+a2a2=|a||b|cosθ≦|a||b|
からでも証明可能です。

幾何的証明は図を描けば明らかなので、代数的証明を。


|a-b|≧|b|-|a|が成立すれば、
|a|≧|b|-|a-b|>|b|-(1/2)|b|=(1/2)|b|
となるので、|a-b|≧|b|-|a|を証明することにします。


a=a1+ia2、b=b1+ib2、とおくと、
(|a-b|)^2-(|b|-|a|)^2
=(a1-b1)^2+(a2-b2)^2-(a1^2+a2^2+b1^2+b2^2-2|a||b|)
=2(|a||b|-a1b1-a2b2)

ここで、
(|a||b|)^2-(a1b1+a2b2)^2
=(a1^2+a2^2)(b1^2+b2^2)-(a1^2*b1^2+a2^2*b2^2+2a1a2b1b2)
=a1^2*b2^2+a2^2*b1^2-2a1a2b1b2
=(a1b2-a2b1)^2≧0
なので、
(|a-b|)^2-(|b|-...続きを読む

Qインバーターと蛍光灯

インバーターの取説には蛍光灯は使用不可と書いてあります。
実際蛍光灯をインバータで使用し、蛍光灯の電源をOFFにせずにエンジンを切り(ここまでは蛍光灯はつきました)、再度エンジンを作動しても、蛍光灯は付きません。



なぜなのでしょうか?

Aベストアンサー

どんな蛍光灯でしょうか?

Q|a|=2,|b|=1,a・b=√2 を満たす2つのベクトルa,b,が

|a|=2,|b|=1,a・b=√2 を満たす2つのベクトルa,b,があたえられている時、次の極限値を求めなさい。lim_(x→0) {|a+xb|-|a|}/x
多分間違えていると思いまっすが、|a+xb|^2を |a|=2,|b|=1,a・b=√2を代入して、(x+√2)^2+2 としてみましたが、この後、どうしていいか、まったくわかりません。よろしくお願いします。解答は、√2/2でした。途中式もお願いします。

Aベストアンサー

(|a+xb|-|a|)/x
=(|a+xb|+|a|)(|a+xb|-|a|)/(x(|a+xb|+|a|))
=(|a+xb|^2-|a|^2)/(x(|a+xb|+|a|))
=(|a|^2+2x(a・b)+x^2|b|^2-|a|^2)/(x(|a+xb|+|a|))
=(2(a・b)+x)/(|a+xb|+|a|)
=(2√2+x)/(|a+xb|+2)

lim_(x→0)(|a+xb|-|a|)/x
=lim_(x→0)(2√2+x)/(|a+xb|+2)
=√2/2

Q部屋のライトとが学習机の蛍光灯での顔

普通の部屋にあるライト(白色)と学習机の蛍光灯?(白色)を使っているのですが、キャノンの700万画素ぐらいのIXYのデジカメで学習机の蛍光灯のあたりにデジカメを置いてとると鏡に似たようなかんじで撮れるのですが、部屋のライトだけ(蛍光灯を消したとき)で撮った場合は鼻が大きくうつったり蛍光灯と部屋のライトを同時につけているときよりも不細工に写ります。これはwebカメラの動画でも同じでした
webカメラでは(これはデジカメでは試していませんが)学習机の蛍光灯のところに置いてライトと同時なら明るくうつって鏡と似たようなかんじになります。ライトを消して部屋が真っ暗で蛍光灯だけの光で顔をうつすと、ライトと蛍光灯を同時につけていたときと比べても明かりが暗くなるだけで顔はかわったように見えません。
私にとっては非常に興味深いことです。
これは学習机の白い蛍光灯のおかげなのか、それとも白い蛍光灯があってこその実物に近い顔なのか、どちらなのでしょうか?

Aベストアンサー

>結論のどちらが自分の実物の顔に近い、というのはわからないということでしょうか?
ちゃんとしたライティングと歪曲や収差のできるだけ少ない機材や設定で
撮影しないと、実物の顔に近いものなどとれませんよ。

ぶっちゃけていうなら、写真屋さんなどで撮ってもらう
「ポーズ写真」などが一番近くなると思います。
(証明写真はだめです、変わって見えてしまうから)

Q数列{a_n}、{b_n}が、a_n=s^n, b_n=r^n(n=1

数列{a_n}、{b_n}が、a_n=s^n, b_n=r^n(n=1,2,3,,) 0<s<r<1 で与えられている時、
Σ∞_(n=1) a_(n)b_(n) = 1/3 , Σ∞_(n=1) a_(n)/b_(n) = 3
を満たすとする。この時、s+rの値を求めよ

Aベストアンサー

  a[n] = s^n
  b[n] = r^n
より、
  a[n]*b[n] = (s*r)^n
  a[n]/b[n] = (s/r)^n
もまた等比数列となる。

等比数列の和の極限は公式により求められるから、
  Σ[n=1~∞]{a[n]*b[n]} = 1/3
より
  s*r = 1/2
が分かり、
同様に
  Σ[n=1~∞]{a[n]/b[n]} = 3
より
  s/r = 3/4
が分かる。

二つの未知数s,rに対して、二式
  s*r = 1/2
  s/r = 3/4
が得られたから、あとはs<rという条件を加え、連立方程式を解くことでs,rの値が求まる。


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