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何故AB=1のときA(cosθ,0) B(0,sinθ)とおけるのてすか?

「何故AB=1のときA(cosθ,0) B」の質問画像

A 回答 (4件)

Aの座標を(s,0),Bの座標を、(0,u)とすると


2点間の距離の公式より、AB²=(0-s)²+(u-0)²
⇔1=s²+u²
ここで一旦、1=s²+u²以外のことは棚上げして
s²+u²=1について考える。
これは、x²+y²=1²という円の方程式にx=s,y=uを代入したものだから、
点(s,u)は円x²+y²=1²・・・①上の点であると言える。
つまり円①上にある点のx座標とy座標がそれぞれsとuだと言える。
三角関数の定義から、半径1の円の上の点(s,u)の座標について、s=cosθ,u=sinθという関係があるから、
一見、問題が円とは無関係のように見える(かもしれない)本問においても、1=s²+u²という関係があるなら
s=cosθ,u=sinθという置き換えが可能となります。
(これは、他の問題でも1=s²+u²関係式が出てきたら使える置き換えです。覚えておきましょう)
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∠OAB=θなら、三角関数の定義通りです。



OA/AB=cosθ が定義。
AB=1でOAはx軸上のA点の座標。
OBも同様。
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三平方の定理から、OB^2+OA^2=1


自乗の和が1になるのは、sin^2θ+cos^2θ
だから。OB=sinθ、OA=cosθと置ける。
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∠OAB=Θとすると、



cosΘ=OA/AB
sinΘ=OB/AB

AB=1なので、
OA=cosΘ
OB=sinΘ

座標で見れば、
A(cosΘ, 0)
B(0, sinΘ)
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N に①を代入すれば
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とおく。
(1)βnの絶対値|βn |を求めよ。
(2)βnの偏角argβn を求めよ。
(3) |β1|+|β2|+・・・+|βn|>1000となる最小のnを求めよ。

はじめにα=α1=1+iとおくと、αの絶対値と偏角は、
|α|=√2__①、argα=π/4__②である。 (argα=π/4は度で表せば45°)
(1) βn=αn-αn-1= (1+i)ⁿ-(1+i)ⁿ⁻¹=αⁿ-αⁿ⁻¹=αⁿ⁻¹(α-1)
=αⁿ⁻¹ ((1+i)-1) =iαⁿ⁻¹__③
③から|βn |=|iαⁿ⁻¹ |=|i|・|αⁿ⁻¹ |=1・√2ⁿ⁻¹=√2ⁿ⁻¹ __④  ①を使った。
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 arg(i)=π/2 (90°)と②を使った。
(3) ④から
|β1|+|β2|+・・・+|βn|は初項a=1、公比r=√2の等比級数であるから、
その和Sは、公式S=a(rⁿ-1)/(r-1)により
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n=2(log1000+ log(√2-1))/log2=2log(414.21)/0.3010=17.388__⑦
n=17のとき√2ⁿ=256√2となり、⑥はS=(√2ⁿ-1)/(√2-1)=871.6<1000
n=18のとき√2ⁿ=512となり、⑥はS=(√2ⁿ-1)/(√2-1)=511/0.4142
=1233.7>1000
答え18
高校では偏角はラジアンを使う。度は使わない。

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(1)βnの絶対値|βn |を求めよ。
(2)βnの偏角argβn を求めよ。
(3) |β1|+|β2|+・・・+|βn|>1000となる最小のnを求めよ。

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|α|=√2__①、argα=π/4__②である。 (argα=π/4は度で表せば45°)
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=αⁿ⁻¹ ((1+i)-1) =iαⁿ⁻¹__③
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9( m^2-8√m) ≧0
にしました。
でも ルートの中に mがずっといます。

よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

9m^2-72√m ≧0  
9( m^2-8√m) ≧0   (1)

m>0より式(1)は


 m^2≧8√m


両辺を2乗して

 m^4≧64m

両辺をmで割って

 m^3≧64

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