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この問題の(4)の解説についてなんですが補足画像のマーカーてを引いてあるとこは何のためにしているんでしょうか?
なぜtanθを微分しているのか?
その後の平方完成は何のためにしているのか?
が分かりません。。

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質問者からの補足コメント

  • 補足です。

    「この問題の(4)の解説についてなんですが」の補足画像1
      補足日時:2018/12/17 03:20
  • 補足です。

    「この問題の(4)の解説についてなんですが」の補足画像2
      補足日時:2018/12/17 03:21
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    「この問題の(4)の解説についてなんですが」の補足画像3
      補足日時:2018/12/17 03:21

A 回答 (1件)

θの範囲から考えて


θの増加に伴ってtanθも増加する

求めたいのはθが最大のときのmとtanθだけど
tanθの最大値を与えるθがθの最大値になるので
tanθの最大値を求めれば良い

mの関数tanθがどこで最大値をとるか調べるため
tanθをmで微分

微分の結果、分母は常に正、分子は -4(m-1)(3m^2+3m+16)
3m^2+3m+16 は常に正(平方完成の結果より)なので
mの関数tanθは m<1 で増加(微分結果が正)、m>1で減少(微分結果が負)

したがって、m=1 でtanθは最大
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底面ACEDの面積は台形なので、1/2*(5+7)*辺ACになります。
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整数n(n≧0)に対して、αn=(1+i)ⁿとおく。また、n≧1に対して、βn=αn-αn-1
とおく。
(1)βnの絶対値|βn |を求めよ。
(2)βnの偏角argβn を求めよ。
(3) |β1|+|β2|+・・・+|βn|>1000となる最小のnを求めよ。

はじめにα=α1=1+iとおくと、αの絶対値と偏角は、
|α|=√2__①、argα=π/4__②である。 (argα=π/4は度で表せば45°)
(1) βn=αn-αn-1= (1+i)ⁿ-(1+i)ⁿ⁻¹=αⁿ-αⁿ⁻¹=αⁿ⁻¹(α-1)
=αⁿ⁻¹ ((1+i)-1) =iαⁿ⁻¹__③
③から|βn |=|iαⁿ⁻¹ |=|i|・|αⁿ⁻¹ |=1・√2ⁿ⁻¹=√2ⁿ⁻¹ __④  ①を使った。
(2) ③から
argβn= arg(iαⁿ⁻¹)= arg(i)+ arg(αⁿ⁻¹)= arg(i)+ (n-1)arg(α)
=π/2+ (n-1)π/4__⑤ (度で表せば90(1+(n-1)/2) °)
 arg(i)=π/2 (90°)と②を使った。
(3) ④から
|β1|+|β2|+・・・+|βn|は初項a=1、公比r=√2の等比級数であるから、
その和Sは、公式S=a(rⁿ-1)/(r-1)により
S=|β1|+|β2|+・・・+|βn|=(√2ⁿ-1)/(√2-1)__⑥となる。
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S≒√2ⁿ/(√2-1)≒1000 と近似して
logS=log(√2ⁿ/(√2-1))=(n/2)log2-log(√2-1)=log1000 
n=2(log1000+ log(√2-1))/log2=2log(414.21)/0.3010=17.388__⑦
n=17のとき√2ⁿ=256√2となり、⑥はS=(√2ⁿ-1)/(√2-1)=871.6<1000
n=18のとき√2ⁿ=512となり、⑥はS=(√2ⁿ-1)/(√2-1)=511/0.4142
=1233.7>1000
答え18
高校では偏角はラジアンを使う。度は使わない。

整数n(n≧0)に対して、αn=(1+i)ⁿとおく。また、n≧1に対して、βn=αn-αn-1
とおく。
(1)βnの絶対値|βn |を求めよ。
(2)βnの偏角argβn を求めよ。
(3) |β1|+|β2|+・・・+|βn|>1000となる最小のnを求めよ。

はじめにα=α1=1+iとおくと、αの絶対値と偏角は、
|α|=√2__①、argα=π/4__②である。 (argα=π/4は度で表せば45°)
(1) βn=αn-αn-1= (1+i)ⁿ-(1+i)ⁿ⁻¹=αⁿ-αⁿ⁻¹=αⁿ⁻¹(α-1)
=αⁿ⁻¹ ((1+i)-1) =iαⁿ⁻¹__③
③から|βn |=|iαⁿ⁻¹ |=|i|・|αⁿ⁻¹ |=1・√2ⁿ⁻¹=√2ⁿ⁻¹ __④  ①を使った。
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