高校数学確率の入試問題です。 2個のサイコロを投げて a, bを次のように決める。異なる目が出たとき

高校数学確率の入試問題です。
2個のサイコロを投げて a, bを次のように決める。異なる目が出たときは,出た目の数の大きい方をa,小さい方をbとする。同じ目が出たときは, a, bともに出た目の数とする。2次方程式x^2-ax+ b =0の解について,次の問いに答えよ。
⑴1つの解が1/2より大きく,他の解は½より小さくなる確率を求めよ
⑵2つの解が異なり, ともに1/2 より大きくなる確率を求めよ。
答えは1/3と1/2です。全くわからないのでお願いします。

No.3 回答者： springside 回答日時： 2018/12/22 13:52

2次方程式x²-ax+b=0の2解をα、βとおくと、解と係数の関係により、α+β=a、αβ=b

まず、2つの異なる実数解を持つから、判別式D=a²-4b>0　よって、a²>4b　①

(1)
α>1/2、β<1/2のときであるから、α-1/2>0、β-1/2<0となり、これは、(α-1/2)(β-1/2)<0と同値。
つまり、αβ-(1/2)(α+β)+1/4<0
よって、b-(1/2)a+1/4<0
a>2b+1/2　②

a≧bも踏まえると、
b=1のとき、①を満たすaは3,4,5,6、②を満たすaは3,4,5,6　←　両方満たすのは4通り
b=2のとき、①を満たすaは3,4,5,6、②を満たすaは5,6　←　両方満たすのは2通り
b=3のとき、①を満たすaは4,5,6、②を満たすaは存在しない。
b≧4のとき、②を満たすaは存在しない。

以上、計6通りあり、a,bが「どちらのサイコロの目か」で場合を分けると、題意を満たす場合は
その2倍になるから（それぞれ2通りあるから）、6×2=12通り。
全体の場合の数は6×6=36だから、答は、12/36 = 1/3

(2)
α>1/2、β>1/2のときであるから、α-1/2>0、β-1/2>0となり、これは、
(α-1/2)+(β-1/2)>0　かつ　(α-1/2)(β-1/2)>0と同値。

つまり、α+β-1>0かつαβ-(1/2)(α+β)+1/4>0
よって、a>1　かつ　b-(1/2)a+1/4>0

つまり、1<a<2b+1/2　③を考える。

a≧bも踏まえると、
b=1のとき、①を満たすaは3,4,5,6、③を満たすaは2　←　両方満たすのは0通り
b=2のとき、①を満たすaは3,4,5,6、③を満たすaは2,3,4　←　両方満たすのは2通り
b=3のとき、①を満たすaは4,5,6、③を満たすaは3,4,5,6　←　両方満たすのは3通り
b=4のとき、①を満たすaは5,6、③を満たすaは4,5,6　←　両方満たすのは2通り
b=5のとき、①を満たすaは5,6、③を満たすaは5,6　←　両方満たすのは2通り
b=6のとき、①を満たすaは5,6、③を満たすaは6　←　両方満たすのは1通り

以上、計10通りあり、a,bが「どちらのサイコロの目か」で場合を分けると、題意を満たす場合は
その2倍になるから（それぞれ2通りあるから）、10×2=20通り。
全体の場合の数は6×6=36だから、答は、20/36 = 5/9
↑あれ？　どこかで間違えたかな？

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/12/21 12:49

f(x)=x^2-ax+ bとおく

(1)条件を満たすためには
f(1/2)<0でなければならない・・・参考：「放物線とｘ軸の共有点の位置」
→1/4-1/2a+b<0
⇔(2a-1)/4>b
これを満たすためにはa≧3で
(a,b)=(3,1)
(4,1)
(5,1),(5,2)
(6,1),(6,2)
2個のさいころを振るとき、このような(a,b)の組になる目の出方は各々２通りづつあるから、題意を満たすのは全部で2x6通り
サイコロ2個の目の出方の総数は6x6通り
ゆえに、求める確率は2x6/6x6=1/3

(2)条件を満たすためには
x^2-ax+ b=0の判別式がD>0・・・①
f(x)のグラフの軸、a/2>1/2・・・②
f(1/2)>0・・・③
であることが必要
①からD=a²-4b>0⇔b<a²/4
②からa>1
③から1/4-1/2a+b>0
⇔b>(2a-1)/4
これらを満たすa,bを調べ１と同様に数えます。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/12/21 01:14

「サイコロの出目」ということを無視して, 単純に

2次方程式の解がそれぞれのようになる
条件を書いてみてください.