図のような△ABCがあり、『AB=7cm,BC=6cm,CA=5cmで、DHはBCの垂直２等分線であ

図のような△ABCがあり、『AB=7cm,BC=6cm,CA=5cmで、DHはBCの垂直２等分線である。このとき、AD:DBの比を求めよ。』
という問題です。
どういうやり方でやればいいのでしょうか？
相似比を使って解くにしても、相似関係にある三角形が見当たりません。教えてください。

質問者からの補足コメント

• 三角関数はOKです。正弦定理、余弦定理、ヘロンの公式も大丈夫です

    補足日時：2018/12/22 00:29

No.3 ベストアンサー 回答者： takoハ 回答日時： 2018/12/21 13:15

余弦定理より

5^2=7^2+6^2ー2・7・6・cos B ∴ cosB=5/7
AからBCへの垂線との交点をEとすると、BE=7・cosB=7・(5/7)=5
∴ BE:BH=5:3=BE/tanB : BH/tanB=DB:ABより DA:DB=(5-3):3=2:3

高校なら、ヘロンの公式より
s=(7+6+5)/2=9
S=√9(9-7)(9-6)(9-5)=√(9・2・3・4)=6√6より
(1/2)・AE・6=6√6 ∴ AE=2√6
∴ BE=√(7^2ーAE^2)=√(7^2ー(2√6)^2 )=√(49ー24)=5 以下同じく上記よりDA:DB=2:3

No.7 回答者： nouble1 回答日時： 2018/12/22 00:58

失礼、

誤字　修正します。

∠ABCがさを　→　∠ABCを

お詫びのうえ　訂正させてください、
済みません。

No.6 回答者： nouble1 回答日時： 2018/12/22 00:55

なーんだ！！

なら、
ヘロンの公式解や、
∠ABCがさを　当てにする解が、
出ている時点で、

もう其れ以上は、蛇足ですよね。


∠ABCが　判るなら、

∠A'BCは、
二等辺三角形、
及び、
斜辺長、底辺長が、
設問で　規定されてますから、

∠A'BCも　判る筈。


併せれば、
∠A'BAも　判るでしょうし、

なればこそ、
∠A'BAも　解り、
線分A'A長も、∠IA'Aも、
判る筈、

なれば、連れて、
線分AI長も　求められますよね？

No.5 回答者： nouble1 回答日時： 2018/12/22 00:21

確認させてください、

三角関数は　もう習いましたか？


と、謂うのも、
先の　回答では、

∠ABCを　求めるよう、
述べてましたが、

余弦定理は　愚か、
三角関数すら、
未就学か、どうか、

確認もせず、
求めよと　言う事は、

お題中の　行間にある、
「中学問題、」
此に　抵触しますから、
アウトなのです。


さて、
線DHに　付いて、
其の位置を　規定し得る物は、
線分BCにおける、
線分BH長=線分HC長
のみです。


言い変えれば、
線分BHに　平行な、
補助線を　引く以外には
サイズ関係を　規定できない、
と　判ります。


では、
連れて、
解方方針予測ですが、

点Aから　線DHに、
垂線を　垂らします、

此の時の　交点を、
仮に、
点Iと　します。

又、一方で、
線分DH長を　求めておきます、

此の時、此は、
線分DH長=線分HC長
なので、

線分BH長=線分BC長/2=3cm
と、判ります。


他方で、
⊿ADIと、⊿DBHに、
着目します、

先の　仮定、
「線DHに、
垂線を　垂らす、」
より、
線分AI⊥線DH

設問より、
線分BC⊥線DH

∴線分AI∥線分BC
と、判ります。


更に、
⊿DBH、⊿ADI、
共に、
線DH、線分ABを、
共有してると、
設問掲載図より　判りますので、

∴⊿DBH∽⊿ADI
と、判ります。


なればこそ、
線分AI長：線分BH長=線分DB長：線分AD長、
と　なります。


後は、
線分AI長を求めればいい、
其れだけと　なります。


此処までか、解法方針予測なのですが、

現在、肝心の
線分AI長を　求める事に、
苦心しています。


∠ABCが　解れば、
直ぐ　解けるのですが、

其れは、
先に　挙げたように、
御法度。


なので、現在は、
線分AB長=線分AC長=7cm
と、成る時の、

頂点位置を、
仮に、
A'と　した際の、

⊿A'IAに　着目して、
何とかならないが　思案中です。

No.4 回答者： nouble1 回答日時： 2018/12/21 23:01

済みません、

誤りを　見つけました、

後程、
訂正させて　ください。

No.2 回答者： nouble1 回答日時： 2018/12/21 04:05

一般的やり方かは　判りませんが、

点Aから、線DHに、
補助線を　引きます、

此の時の　交点を、
仮に、
点Iと、します。


さて、
AB = AC = 7cm
だった場合、

点Aは、線DHに、
重なりますよね、

先ず其の時の　∠ABCを、
求めておきます。

更に、図の状態が、

其処から何度　傾いたか、
割り出します。


そうすれば、其れで、
∠ABIが　判ると、
思います、

すると　連れて、
線分AIの　長さが、
判りますよね？

又、同時に、
∠ADIも　判りますよね、

ならば、
⊿ADIの　各線長が、
解ります、

で、
其の中には、
線分AD長が、含まれますから、

線分AB-線分AD
で、
線分BD長が　解りますので、

後は、
其の比を　求めれば、
良いのでは　ないでしょうか？

No.1 回答者： ななお1 回答日時： 2018/12/21 04:00

Aから垂線落として交点をEとおく。

△ABEと△AECでAEが共通なのを利用して三平方の定理を用いてBEを求める。AD:DB=BH:BE おしまい。