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確率の問題です。

A,B,Cの3人で次のゲームをする。

サイコロを1回投げ1,2,3の目が出たらAを、4,5の目が出たらBを、6の目が出たらCを勝ちとする。

2回連続で勝った人を優勝者としゲームを終了するとき、n回目にAが優勝する確率を求めよ。

漸化式までは立てたのですが、解けませんでした
どなたか解答よろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

  • yhr2さん、解答ありがとうございます。
    返信が遅れて申し訳ないです。

    自分の実力ではyhr2さんの解答のように数え上げるのは無理だと感じたので写真のような漸化式を立てたのですが、これは間違っているでしょうか?

    「確率の問題です。 A,B,Cの3人で次の」の補足画像1
      補足日時:2018/12/26 15:14

A 回答 (6件)

あなたの漸化式は正しい。


pn=a(n-1)×1/2も正しいです。式の番号など間違いを直した。
行列表示はこの投稿欄ではきれいに表示されないので、行列の式は図にした。
A,B,Cがn回目に1勝する確率をa(n),b(n),c(n)とする。n=1のとき
a(1)=1/2  b(1)=1/3  c(1)=1/6 _①図の式①を見よ。
となる。nが2以上の時は、次の漸化式により計算される。
a(n)=(b(n-1)+c(n-1))・1/2  _②
b(n)=(a(n-1)+c(n-1))・1/3
c(n)=(a(n-1)+b(n-1))・1/6
この式は、a(n),b(n),c(n)をベクトルx(n)として式③の行列表示で表される。
ここで、Aは式④の行列である。図の式③④を見よ。
するとx(n)は式⑤となり、漸化式の関係は行列Aの(n-1)乗にまとめられる。
x(n)= A x(n-1) = A x(n-1) = A^(n-1)x(1)_⑤
Aの(n-1)乗を計算するのに、行列の対角化が使える。
まず、特性方程式⑥を解いて、行列の固有値λを求める。図の式⑥を見よ。
det(A-λI)= -(36λ³-11λ-2)/36_⑥
この3次方程式は数値計算で解いて、固有値⑦となる。エクセルで計算した。 
36λ³-11λ-2=0
λ1= 0.627739247308784_⑦
λ2= -0.213803977218133
λ3= -0.413935270090651
固有ベクトルをabcのベクトルとして、固有方程式⑧を解く。図の式⑧を見よ。
⑧は変数が一つ多い不定方程式だから、a+b+c =1とすると
-2λa +b+c =0,a-2λa +b+c =a=1-2λa,a=1/(1+2λ) _⑨
a-3λb+c=0,a+b-3λb+c=b=1-3λb,b=1/(1+3λ) _⑩
a+b-6λc=0,a+b+c-6λc=c=1-6λc,c=1/(1+6λ) _⑪
の解が出る。λにλ1,λ2,λ3を入れると、3個のabcの固有ベクトルが出る。
この3個の固有ベクトルx1,x2,x 3を、並べて行列を作ると、変換行列P⑫ができる。
P= [x1 x2 x3] _⑫ 図の式⑫を見よ。
固有ベクトルx1,x2,x 3にAをかけると固有方程式⑬が成り立つ、
A x1=λ1x1,A x2=λ2x2,A x3=λ3x3_⑬
PにAをかけて、⑬を使うと
AP= [A x1 A x2 A x3] = [λ1x1 λ2x2 λ3x3] _⑭
Pの逆行列を計算するとP⁻¹は式⑮となる。図の式⑮を見よ。
⑭にP⁻¹をかけると、⑯になる。
P⁻¹AP= [λ1P⁻¹x1 λ2P⁻¹x2 λ3P⁻¹x3] _⑯
x1,x2,x 3にP⁻¹をかけると、⑰が成り立つので、 図の式⑰を見よ。
これを⑯に入れると。⑱になり、対角行列Dとなる。図の式⑱を見よ。
行列の対角化ができた。⑱からAを求める為に、⑱の両辺に左からPを掛け、右からP⁻¹を掛けると
P P⁻¹AP P⁻¹= P D P⁻¹  P とP⁻¹は消し合うから
A= P D P⁻¹_⑲
⑲をn乗すると
A^(n-1)= P D P⁻¹・P D P⁻¹・P D P⁻¹・・・P D P⁻¹  中間のP とP⁻¹は消し合うから
= P D^(n-1)P⁻¹_⑳
Dは対角行列だから,式㉑となる。図の式㉑を見よ。
式④に⑳㉑を㉒となる。
x(n)= A x(n-1) = A^(n-1)x(1) _㉒
x(n-1)= A^(n-2)x(1)= PD^^(n-2)P^-1 x(1)
p=(1/2 0 0) x(n-1)= (1/2 0 0) PD^(n-2)P^-1 x(1) _㉓
pn=a(n-1)×(1/2) _㉔
nを決めれば、確率pは容易に計算できる。
「確率の問題です。 A,B,Cの3人で次の」の回答画像6
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この回答へのお礼

図まで用意していただいてありがとうございました。
本当に助かりました。

お礼日時:2018/12/29 21:53

あなたの漸化式は正しい。

pn=a(n-1)×1/2も正しいです。
行列表示はこの投稿欄ではきれいに表示されないので、行列の式は図にした。
A,B,Cがn回目に1勝する確率をa(n),b(n),c(n)とする。n=1のとき
a(1)=1/2  b(1)=1/3  c(1)=1/6 _①図の式①を見よ。
となる。nが2以上の時は、次の漸化式により計算される。
a(n)=(b(n-1)+c(n-1))・1/2  _②
b(n)=(a(n-1)+c(n-1))・1/3
c(n)=(a(n-1)+b(n-1))・1/6
この式は、a(n),b(n),c(n)をベクトルx(n)として式②の行列表示で表される。
ここで、Aは式③の行列である。図の式③④を見よ。
するとx(n)は式⑤となり、漸化式の関係は行列Aの(n-1)乗にまとめられる。
x(n)= A x(n-1) = A x(n-1) = A^(n-1)x(1)_⑤
Aの(n-1)乗を計算するのに、行列の対角化が使える。
まず、特性方程式⑥を解いて、行列の固有値λを求める。図の式⑥を見よ。
det(A-λI)= -(36λ³-11λ-2)/36_⑥
この3次方程式は数値計算で解いて、固有値⑦となる。エクセルで計算した。 
36λ³-11λ-2=0
λ1= 0.627739247308784_⑦
λ2= -0.213803977218133
λ3= -0.413935270090651
固有ベクトルをabcのベクトルとして、固有方程式⑧を解く。図の式⑧を見よ。
⑧は変数が一つ多い不定方程式だから、a+b+c =1とすると
-2λa +b+c =0,a-2λa +b+c =a=1-2λa,a=1/(1+2λ) _⑨
a-3λb+c=0,a+b-3λb+c=b=1-3λb,b=1/(1+3λ) _⑨
a+b-6λc=0,a+b+c-6λc=c=1-6λc,c=1/(1+6λ) _⑩
の解が出る。λにλ1,λ2,λ3を入れると、3個のabcの固有ベクトルが出る。
この3個の固有ベクトルx1,x2,x 3を、並べて行列を作ると、変換行列P⑪ができる。
P= [x1 x2 x3]= _⑪ 図の式⑪を見よ。
固有ベクトルx1,x2,x 3にAをかけると固有方程式⑫が成り立つ、
A x1=λ1x1,A x2=λ2x2,A x3=λ3x3_⑫
PにAをかけて、⑫を使うと
AP= [A x1 A x2 A x3] = [λ1x1 λ2x2 λ3x3] _⑬
Pの逆行列を計算するとP⁻¹は式⑭となる。図の式⑭を見よ。
⑬にP⁻¹をかけると、⑮になる。
P⁻¹AP= [λ1P⁻¹x1 λ2P⁻¹x2 λ3P⁻¹x3] _⑮
x1,x2,x 3にP⁻¹をかけると、⑯が成り立つので、 図の式⑭を見よ。
これを⑮に入れると。⑰になり、対角行列Dとなる。図の式⑰を見よ。
行列の対角化ができた。⑰からAを求める為に、⑰の両辺に左からPを掛け、右からP⁻¹を掛けると
P P⁻¹AP P⁻¹= P D P⁻¹  P とP⁻¹は消し合うから
A= P D P⁻¹_⑱
⑱をn乗すると
A^(n-1)= P D P⁻¹・P D P⁻¹・P D P⁻¹・・・P D P⁻¹  中間のP とP⁻¹は消し合うから
= P D^(n-1)P⁻¹_⑲
Dは対角行列だから,式⑳となる。図の式⑳を見よ。
式④に⑲⑳を㉑となる。
x(n)= A x(n-1) = A^(n-1)x(1) _㉑
x(n-1)= A^(n-2)x(1)= PD^^(n-2)P^-1 x(1)
p=(1/2 0 0) x(n-1)= (1/2 0 0) PD^(n-2)P^-1 x(1) _㉒
pn=a(n-1)×(1/2) _㉓
nを決めれば、確率pは容易に計算できる。
「確率の問題です。 A,B,Cの3人で次の」の回答画像5
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「n回目にAが優勝する確率を求めよ」。



これ、
大学入試問題なの?
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No.2です。

(d) について考えてみましょう。

「Aが連続しない」ということは、サイコロの「1、2、3」の目と「4、5、6」の目の2つに分けたとき、両方が必ず交互に起こるということです。
この2つの(n - 2)回の並び順の総数は 2^(n - 2)

そのうち「Aが連続しない」ということは、「両方が必ず交互に起こる」ということであり、その並び順は、『最初「1、2、3」の目』か『最初「4、5、6」の目』かの2通りだけです。ただし、(n - 2)回目が「1、2、3」の目になるものは除かないといけませんので、結局そのどちらか一方となり、「(n - 2)回の試行で両方が交互に起こる、ただし(n - 2)回目が「1、2、3」の目にならない」確率は
 Pa = 1/2^(n - 2) = 2^(2 - n)
となります。
このとき、「4、5、6」の目は1回おきにしか出ませんから、B、Cが連続することはありません。

あとは、仮に「1、2、3」の目と「4、5、6」の目が交互ではなく、「4、5、6」の目が連続しても、その中で「4、5」の目と「6」の目が連続しなければよいわけです。
では、「4、5、6」の目が連続して起こる場合の数は、というと、最低限(n - 2)回の半分以上ということです。半部以下だと「1、2、3」の目がどこかで連続してしまいますから。「半分以上」というのは、「(n - 2)が偶数か奇数か」で場合分けしないといけません。
その各々の『「4、5、6」の目が連続して起こる場合』について、「4、5」の目と「6」の目のすべての出方に対する『「4、5」の目と「6」の目が交互に出る出方の数』を数えて、その比で確率を求めればよいでしょう。

こんなことを繰り返して、各々が起こる場合を「条件付確率」として組み合わせて、(d)の確率を求めることになると思います。
複雑そうなので私は撤退しますが、本当にそのものズバリの問題がどこかで出題されているのですか?
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No.1です。

失礼。書き間違えましたね。
下記に訂正します。

>n回目にAが優勝する

ということは

(a) n 回目はA
(b) (n - 1)回目もA
(c) (n - 2)回目はAではない
(d) (n - 2)回目までは、いずれも「2回連続」では起こらない

が同時に起きるということです。

(a)(b)(c) は簡単に求まりますが、(d) はそう簡単には求まりません。
(d) の場合の数を「全て数えあげる」ことができれば求まります。求まると思いますか?
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>n回目にAが優勝する



ということは

(a) n 回目はA
(b) (n - 1)回目もA
(c) (n - 2)回目はAではない
(d) (n - 2)回目までは、いずれも「2回連続」では起こらない

が同時に起きるということです。

(a)(b) は簡単に求まりますが、(c) はそう簡単には求まりません。
(c) の場合の数を「全て数えあげる」ことができれば求まります。求まると思いますか?
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簡単に考えると、3 と 18は1通りしかないから可能性は低いよね。
4と17は3通りになるよね。
5は
1 1 3
1 2 2
1 3 1
2 1 2
2 2 1
3 1 1
6パターンになる。

って考えていくと、ちょうど中間が一番多いんじゃないかって推測ができる。
(3+18)/2=10.5だから、
10と11が同じ数で一番可能性が高くなるはず。 11で考えると、
1 4 6
1 5 5
1 6 5
2 3 6
2 4 5
2 5 4 
2 6 3
3 2 6
3 3 5
3 4 4
3 5 3
3 6 2
4 1 6

パターンが見えてきたと思うけど、最初のサイコロが
1 の場合 3パターン
2 の場合 4パターン
3 の場合 5パターン
4 の場合 6パターン
5 の場合 5パターン
6 の場合 4パターン
で、6x6x6=196のうち合計26パターン10になる。

(合計が10の時は 最初が1の場合が 4パターンになり、3の時が6パターンとなり、あとは減っていき同じように26パターンがそうなるはず。)

というのが推測。

証明に関しては、どの程度の数学をやっているのかにもよるけど、全パターンを書き出してしまうのが早いかな。

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6パターンになる。

って考えていくと、ちょうど中間が一番多いんじゃないかって推測ができる。
(3+18)/2=10.5だから、
10と11が同じ数で一番可能性が高くなるはず。 11で考えると、
1 4 6
1 5 5
1 6 5
2 3 6
2 4 5
2 5 4 
2 6 3
3 2 6
3 3 5
3 4 4
3 5 3
3 6 2
4 1 6

パターンが見えてきたと思うけど、最初のサイコロが
1 の場...続きを読む

Q高校の数学1 2次方程式 ルートの中の文字

高校の小テストで、以下のような問題が出たのですが、判別式をやったあと どうすればいいのかわかりません。
ルートの中に mがずっといるのですが、どうやって いなくならせますか?

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判別式を使って、
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9( m^2-8√m) ≧0
にしました。
でも ルートの中に mがずっといます。

よろしくお願いいたします。

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9m^2-72√m ≧0  
9( m^2-8√m) ≧0   (1)

m>0より式(1)は


 m^2≧8√m


両辺を2乗して

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両辺をmで割って

 m^3≧64

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これを使って、
左辺 = (d/dx){ xy + a*log(x + y) }
  = y + xy' + [a/(x + y)](1 + y')
  = y + x^2 /y + a/(x + y) + ax/[y(x + y)]
  = { y^2 (x + y) + x^2 (x + y) + ay + ax }/[y(x + y)]
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これが b√(x^2 + 3) = by に等しいので
  (y^2 + x^2 + a)/y = by
より
  (1 - b)y^2 + x^2 + a = 0
y を元に戻して
  (1 - b)(x^2 + 3) + x^2 + a = 0
→ (2 - b)x^2 = 3b - a - 3
これが任意の x に対して成り立つためには
 2 - b = 0, 3b - a - 3 = 0
である必要があり
 b = 2, a = 3
となる。

3.迷っていてもしょうがないので、実際にやってみれば
 左辺 = f'(x) = (2ax + b)e^(-x) - (ax^2 + bx + c)e^(-x) = [ -ax^2 + (2a - b)x + (b - c) ]e^(-x)
また、
 右辺 = f(x) + xe^(-x) = (ax^2 + bx + c)e^(-x) + xe^(-x) = [ ax^2 + (b + 1)x + c ]e^(-x)

これらがすべての実数 x で成り立つためには
 -a = a よって a=0
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 b - c = c → 2c = b = 1/2 より c = 1/4

2.y = √(x^2 + 3) とおくと
 y' = dy/dx = x/√(x^2 + 3) = x/y

これを使って、
左辺 = (d/dx){ xy + a*log(x + y) }
  = y + xy' + [a/(x + y)](1 + y')
  = y + x^2 /y + a/(x + y) + ax/[y(x + y)]
  = { y^2 (x + y) + x^2 (x + y) + ay + ax }/[y(x + y)]
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これが b√(x^2 + 3) = by に等しいので
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→ (2 - b)x^2 = 3b - a - 3
これが任意の x に対して成...続きを読む

Q2問とも分からないので教えてほしいです。 解答の過程も書いていただきたいです。 お願いします。

2問とも分からないので教えてほしいです。
解答の過程も書いていただきたいです。

お願いします。

Aベストアンサー

両方とも最初にlogの式を簡略化したほうが楽そう。

(1)y=log{e^x*(1-x)}=log(e^x)+log(1-x)=x+log(1-x)
これなら簡単に微分できます。

(2)y=log[{√(1+e^x)-1}/{√(1+e^x)+1}]=log{√(1+e^x)-1}-log{√(1+e^x)+1}
これもさほど難しくはないかな。

Q0<Q<1のすべての有理数を重複なく網羅する数列(?)について

数学について興味があり、次のような数列を考えました。
0<Q<1のすべての有理数Qについて、既約分数n/m(nとmはn<mで互いに素の自然数)
の形で、重複なく全ての有理数Q=n/mを網羅する数列(?)として、1/2から始まり、
既約分数n/mの次にm/(2m-n)と、(mーn)/(2m-n)の2つの有理数を続けて行けば、
1/2 → 2/3と1/3 → 3/4と1/4 と 3/5と2/5 → ...
という具合に数列(倍々に膨れる数列ですが)が出来て、すべてが既約分数で、
かつ互いに重複がなく、0<Q<1のすべての有理数Qを網羅する様に思います。
当たり前な事なのかもしれませんが、互いに素な2つ自然数の組み合わせが、
割り算などで確認することなく全て得られるのが何だか面白いと思います。
この様な数列(?)はよく知られているのでしょうか?

Aベストアンサー

あまりわからないのに答えて申し訳ありません。
私はその道の人ではないので初めて見ます。

n=1,m=2 として、一次的な列を見ていくと、、、
m/(2m-n) からは、 (1/2),2/3,3/4,4/5... が出てきて、
(m-n)/(2m-n) からは、(1/2),1/3,1/4,1/5...となる。

次に、n=1,m=3 とすると、
m/(2m-n) は、3/5,5/7,7/9,9/11... となり、
(m-n)/(2m-n)  は、2/5,2/7,2/9,2/11...となる。

n=1,m=4 とすると、
4/7,7/10,10/13,...
3/7,3/10,3/13,...

となっていく。
このパターンを見てると、、、篩感はありますね。
(問題はただの数列とは違い、)

mとnがお互いに素であれば、mと2m-n や、m-nと2m-nがお互いに素であることを証明できれば、すべてが「既約分数」であることになります。

すべての有理数が出てくるというのは、有理数n/mを逆向きに計算していき、
どうにかすれば、1/2 にたどり着くということを言えばよいのでしょうけど、
有限のものをふるい落としていくのではなく、無限に分岐していくものなので、
証明されているかや(照明可能かどうかを含め)いまいちわかりません。

ある一定の分母においてすべての有理数が出てくるときとして、
帰納法を使えばできるのかなぁ?

あまりわからないのに答えて申し訳ありません。
私はその道の人ではないので初めて見ます。

n=1,m=2 として、一次的な列を見ていくと、、、
m/(2m-n) からは、 (1/2),2/3,3/4,4/5... が出てきて、
(m-n)/(2m-n) からは、(1/2),1/3,1/4,1/5...となる。

次に、n=1,m=3 とすると、
m/(2m-n) は、3/5,5/7,7/9,9/11... となり、
(m-n)/(2m-n)  は、2/5,2/7,2/9,2/11...となる。

n=1,m=4 とすると、
4/7,7/10,10/13,...
3/7,3/10,3/13,...

となっていく。
このパターンを見てると、、、...続きを読む


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