この問題を解説してください！！どうかよろしくお願いします。 △OABに対して、点Pが次の条件を満たし

この問題を解説してください！！どうかよろしくお願いします。

△OABに対して、点Pが次の条件を満たしながら動く時、点Pの存在範囲を求めよ。

(１)↑OP=s↑OA+t↑OB、0≦s+t≦4、
s≧0、t≧0

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/01/07 11:35

#1を解説つきで（＃１は読まずこちらを読んでください）

←←←部分は本筋ではなく、解説

s+t=k(0≦k≦4)とおくと　←←←s+tが0～4まで動くので、Kとして一定の値に固定（ｋは０のときがあれば、ｋ＝４のときもある）

s/k+t/k=1
s'=s/k　t'=t/kとおくと
s'+t'=1,s'≧０　t'≧0　　
↑OP=s'(k↑OA)+t'(k↑OB)　←←←「=1」の形にすると、直線（線分）の方程式や、内分点の公式になり分かりやすくなる

ここで（ｋが一定のとき）
→OQ＝k↑OA・・・①
→OR=k↑OB・・・②
である点をそれぞれ、Q,Rとすると
Pは線分QR上を動く（∵↑OP=s'↑OQ+t'↑OR、s'+t'=1,s'≧０　t'≧0が表すのは線分QR)　←←←この置き換えで、見慣れた、線分を表すベクトル方程式の形になる
この式から、KによらずPは線分QR上にあることになる。

ちなみにQRはABに平行　←←←①②より2組の辺の比とその間の角が等しいから△OAB∽△OQR⇔QR//AB
0≦k≦4だから
k=0なら①②より点QとRはOに重なる→このとき線分QRは1点Oという事になる　←←←k=0なら①から→OQ=0(→OA)、
→OQはゼロベクトルだからQとOは一致、Rも同様

以下、少しづつKを大きくしていくことをイメージ
そのうちのいくらかを以下に示します
k=1/2ならQ,RはOA,OBの中点にくるから
線分QRはOA,OBの中点を結んだもので、Pはこの上を動く（QR//AB)　←←←K=0.5⇔→OQ=0.5(→OA)⇔→OQは→OAの半分の長さで、始点が同じ、矢印の向きも同じ⇔QはOAの中点Rも同様・・・（あ)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
k=1ならQ,RはA,Bに重なるから、線分QRは線分ABに重なり、Pはこの上を動く
K=2ならQ,RはOA,OBそれぞれの2倍の位置にくるから、線分QRは△OABを2倍に拡大コピーしたときの頂点A'とB`を結んだA`B`と重なり、Pはこの上を動く・・・（い）

kは０から４の範囲だが、このようにK=0からスタートして
Kを徐々に大きくしていくと、線分QRはQR//ABを満たしながら
ABに近づいていくのがイメージできます。　　　　　　　　　　　←←←k=0では線分QRは長さ０で点Oと重なる0より少しでもKが大きければ、QRは長さ０ではなくなる。
そしてABに平行であるだからKが０からスタートして徐々に大きくなっていくと、
QRは長くなりながら、OからAB方向へと移動していく。QRの移動方向は一方通行

k=1でQRはABと重なりK>1では、
線分QRはQR//ABを満たしながら
ABから遠ざかっていくことが分かります。
従って、Kが０から4まで変化するとき、線分QRにインクをつけておいて
その通過した部分を着色すれば、下図の三角形OA'B'となる
ただしA',B'は、→OA'=4OA　→OB'=4（→OB)となる点
つまり、OA'はOAの4倍の長さ　
OB'はOBの4倍の長さ
この△OA'B'が、線分QRが通過する範囲で、
前述のように、点Pは線分QR上にあるのだから、
Pの存在範囲は、下図の三角形OA'B'の内部とその周上　←←←K=0なら、線分QRは点Oと重なる。PはQR上にあるからこのときPの存在範囲は１点OK=0.5なら、QRの位置は前述の（あ)で、Pの存在範囲はこの位置にある線分QRの上K=２なら、QRの位置は前述の（い)で、Pの存在範囲はこの位置にある線分QRの上以下、細かくKの値を変えていくとQRの位置は少しずつ変わるが、いずれの位置にあっても、PはQRの上に存在QRは△OA`B`の内部すべてを移動していくので、Pも△OA'B'の内部のすべてに存在し得る

この回答へのお礼

結構難しいですね…笑。
いただいた御回答を何度も読み返してなんとか理解できるように頑張ります！！！
ありがとうございます！

お礼日時：2019/01/14 11:50

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/01/06 14:52

s+t=k(0≦k≦4)とおくと

s/k+t/k=1
s'=s/k　t'=t/kとおくと
s'+t'=1,s'≧０　t'≧0
↑OP=s'(k↑OA)+t'(k↑OB)
ここで（ｋが一定のとき）
→OQ＝k↑OA・・・①
→OR=k↑OB・・・②
である点をそれぞれ、Q,Rとすると
Pは線分QR上を動く（∵↑OP=s'↑OQ+t'↑OR、s'+t'=1,s'≧０　t'≧0が表すのは線分QR)
ちなみにQRはABに平行
0≦k≦4だから
k=0なら①②より点QとRはOに重なる→このとき線分QRは1点Oという事になる
以下、少しづつKを大きくしていくことをイメージ
そのうちのいくらかを以下に示します
k=1/2ならQ,RはOA,OBの中点にくるから線分QRはOA,OBの中点を結んだもので、Pはこの上を動く（QR//AB)
k=1ならQ,RはA,Bに重なるから、線分QRは線分ABに重なり、Pはこの上を動く
K=2ならQ,RはOA,OBそれぞれの2倍の位置にくるから、線分QRは△OABを2倍に拡大コピーしたときの頂点A'とB`を結んだものと重なり、Pはこの上を動く
kは０から４の範囲だが、このようにK=0からスタートしてKを徐々に大きくしていくと、線分QRはQR//ABを満たしながら
ABに近づいていくのがイメージできます。
k=1でQRはABと重なりK>1では、線分QRはQR//ABを満たしながら
ABから遠ざかっていくことが分かります。この線分がQRが通過する範囲すべてが点Pの存在範囲で下図となります・・・→OA'=4OA　→OB'=4（→OB)とするA',B'を用いて
Pの存在範囲は三角形OA'B'の内部とその周上