どうやったらこうなるか教えて欲しいです お願いします

どうやったらこうなるか教えて欲しいです
お願いします

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2019/01/06 20:40

e^(-|x|) を s→t で定積分するということですか？

s, t の条件が規定されていませんか？

s, t の条件がないのであれば、s～t の範囲が「正負」にいずれかによって場合分けしないといけません。
ここでは s<t と考えます。

(a) s<t<0 のとき |x|=-x なので
　e^(-|x|) = e^(x)
であり
　∫[s→t]e^(-|x|) dx = ∫[s→t]e^x dx = [e^x][s→t] = e^t - e^s

(b) s<0≦t のとき
　s～0 で |x|=-x
　0～t で |x|=x
なので
　∫[s→t]e^(-|x|) dx = ∫[s→0]e^x dx + ∫[0→t]e^(-x) dx
= [e^x][s→0] + [-e^(-x)][0→t]
= 1 - e^s - [(e^(-t) - 1]
= 2 - e^s - e^(-t)

(c) 0≦s<t のとき |x|=x なので
　e^(-|x|) = e^(-x)
であり
　∫[s→t]e^(-|x|) dx = ∫[s→t]e^(-x) dx = [-e^(-x)][s→t] = -e^(-t) + e^(-s)

お示しのものは、(b) のケースを計算したものと思いますが間違えていますね。
「e^t」ではなく「e^(-t)」です。