a＜0として、x=log［2］aとおく。x=5のとき、a=(1)である。次に、2a≠1のとき、不等式

a＜0として、x=log［2］aとおく。x=5のとき、a=(1)である。次に、2a≠1のとき、不等式log［2］256a＞3log［2a］aの左辺は(2)、右辺は(3)である。したがってこの不等式を満たすxの値の範囲は(4)である。

自分で求めて
(1)=32
(2)=8+x
(3)=x/(1+x)
となりましたが、あっているでしょうか…？
この答えで(4)を求めようとすると変な感じになります。わかる方教えてください。

質問者からの補足コメント

• すみません間違えました最初のところ
  a＜0ではなく
  a＞0でした！

    補足日時：2019/01/10 23:02

No.3 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2019/01/10 23:30

No.1です。

「補足」で了解です。

(1) 5 = log[2](a)
対数の定義より
　a = 2^5 = 32

(2) 以降は、x = log[2](a) は継続して生きているのですか？
生きているなら
　log[2](256a) = log[2](256) + log[2](a) = 8 + x
　3log[2a](a) = log[2a](a^3) = log[2](a^3) / log[2](2a)
　　　　　　　= 3log[2](a) / { log[2](2) + log[2](a) }
　　　　　　　= 3x / (1 + x)

従って、不等式は
　8 + x > 3x / (1 + x)

a ≠ 1/2 より x≠-1 である。

(a) 1 + x ≧ 0 つまり -1 ≦ x のとき、 x≠-1 なので -1<x であり
　(8 + x)(1 + x) > 3x
→　8 + 9x + x^2 > 3x
→　x^2 + 6x + 8 >0
→　(x + 2)(x + 4) > 0
-1 < x でこれを満たすものは
　-1 < x

(b) 1 + x < 0 つまり x < -1 のとき
　(8 + x)(1 + x) < 3x
→　8 + 9x + x^2 < 3x
→　x^2 + 6x + 8 < 0
→　(x + 2)(x + 4) < 0
x < -1 でこれを満たすものは
　-4 < x < -2

以上より
　-4 < x < -2、-1 < x

この回答へのお礼

とても分かりやすい回答ありがとうございます！

お礼日時：2019/01/14 14:32

No.5 回答者： majimelon37 回答日時： 2019/01/12 20:51

a>0として、x=log［2］aとおく。

x=5のとき、a=(1)である。次に、2a≠1のとき、不等式log［2］256a＞3log［2a］aの左辺は(2)、右辺は(3)である。したがってこの不等式を満たすxの値の範囲は(4)である。

自分で求めて
(1)=32
(2)=8+x
(3)=x/(1+x)
となりましたが、あっているでしょうか…？
この答えで(4)を求めようとすると変な感じになります。わかる方教えてください。

(1) (2)は合っています。(3)は3x/(1+x)となる。
(3)の証明は、公式log[A]B=log[C]B/log[C]A＿①を使う。
公式の左辺のlog[A]Bは、任意C>0(ただしC≠1)を新しい底として、右辺のように書き直すことができる。
式①の証明：式①はlog[A]B✕log[C]A= log[C]B＿②と変形できる。
②は③に変形できる。先頭にあったlog[A]BをAの指数に移すことができて③となる。
log[C]A^(log[A]B)= log[C]B＿③
この式の中のA^(log[A]B)はA^(log[A]B)=B＿④となるので、③は⑤となる。
log[C]B= log[C]B＿⑤
⑤は左辺と右辺がおなじだから当然成り立つ。⑤から逆順に①が証明される。
公式①でA=2a，B=a，C=2を入れると
log[2a]a=log[2]a/log[2]2a= log[2]a/(log[2]2+ log[2]a)=x/(1+x)＿⑥
両辺を3倍すると⑦となる。これが(3)不等式の右辺である。
3log[2a]a =3x/(1+x)＿⑦
(4)不等式は8+x>3x/(1+x)＿⑧となる。
これを解くには、1+x>0＿⑨と1+x<0＿⑩の場合分けが必要である。
⑨と⑩の境界となる1+x=0は2a=1となるので、2a≠1の条件により除外されている。
1+x>0＿⑨の場合、不等式⑧の両辺に1+xをかけると
(8+x)(1+x)>3x，x²+9x+8>3x，x²+6x+8=(x+2)(x+4)>0
x<－4またはx>－2＿⑪となる。⑨1+x>0と⑪(x<－4またはx>－2)が両立する範囲は
x>－1＿⑫である。
1+x<0＿⑩の場合、不等式⑧の両辺に1+xをかけると
(8+x)(1+x)<3x，x²+9x+8<3x，x²+6x+8=(x+2)(x+4)<0
－4< x<－2＿⑬となる。⑩1+x<0と⑬が両立する範囲は
－4< x<－2＿⑬である。
2つの場合を合わせて、不等式⑧をみたすxの範囲は
x>－1または－4< x<－2が(4)の答えである。
グラフ：不等式⑧はy₁=8+xとy₂=3x/(1+x)=3－3/(1+x)のグラフで
y₁>y₂となるｘの範囲である。赤線で示す。
不等式⑧は問題作成者が、任意に設定したもので、変な感じになるのが、係数3を忘れたせいでなければ、あなたに責任はないかも知れない。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/01/11 00:06

ああ、係数３の見落としで(3)も間違っていますね。

No.2 は忘れてください。
おろろ。さんの答えが変な感じになったのも、
そのへんが原因かな？

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/01/10 23:28

問題文の「a＜0として」が問題です。

これが「a＞0として」の書き違いであれば、
(1)(2)(3)はそれでいいでしょう。

(4)は、8+x＞x/(1+x) を解くことになります。
右辺分母の符合で場合分けして、
(a) 1+x＞0 かつ (8+x)(1+x)＞x
または
(b) 1+x＜0 かつ (8+x)(1+x)＜x
です。

(a)は、1+x＞0 かつ x^2+8x+8＞0
だから、二次不等式を解いて
-1＜x かつ(x＜-4-2√2 または -4+2√2＜x)、
つまり -1＜x です。

(b)は、1+x＜0 かつ x^2+8x+8＜0
だから、二次不等式を解いて
x＜-1 かつ(-4-2√2＜x＜-4+2√2)、
つまり -4-2√2＜x＜-4+2√2 です。

あわせて、
-4-2√2＜x＜-4+2√2 または x＞-1 ですね。

自分の解答のどこがどう変な感じになったのかを
書いたほうが、適切な回答が得られると思います。

本当に「a＜0として」だった場合は、
xが虚数になるので
(4)の不等式が意味をなしません。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2019/01/10 22:58

＞a＜0として

真数条件としてあり得ないでしょう。