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線形代数を学び始めた者です。教科書が本当に難しくて、授業もあまり分かっていない状態で恥ずかしい限りなのですが、ズバリ
2x-y-z=1
-x-2y-z=1
-x-y+2z=1
ってどう解けばいいんでしょうか・・。
階数の求め方まではもとめられるのですが、具体的な解法を教えてください。

A 回答 (2件)

線形代数は嫌ですよねぇ・・・私も嫌いでした(>_<)


今は全然なんですけど☆
1年生の時にはどれだけ苦労したか・・・
解き方ですが、行変形を用いてってことですかね?
学び初めってことなので、そうかな?と思ったんですが。
階段行列を・・・というし。
まず、拡大係数行列は、
( 2 -1 -1|1)
(-1 -2 -1|1)
(-1 -1  2|1)
となります。 
で、これを行変形して解いていくには、
      | 2 -1 -1 |1 
      |-1 -2 -1|1       ☆1
      |-1 -1  2 |1
━━━━━━━━━━━━━━
(1)+2(2)| 0 -5 -3 |3
      |-1 -2 -1|1       ☆2
(3)-(2) | 0  1  3  |0
━━━━━━━━━━━━━━━
(1)+5(3)| 0  0 12  |3
(2)+2(3)|-1  0  5 |1        ☆3
      | 0  1  3  |0
━━━━━━━━━━━━━━━━
(1)÷12 | 0  0  1  |1/4
      |-1  0  5 |1      ☆4
      | 0  1  3  |0
━━━━━━━━━━━━━━━
      | 0  0  1  |1/4
(2)-5(1)|-1  0  0 |-1/4     ☆5
(3)-3(1)| 0  1  0  |-3/4
━━━━━━━━━━━━━━━━
      | 1  0  0  |1/4
      | 0  1  0  |-3/4
      | 0  0  1  |1/4
で、階段行列になり、
解はNO.1さんと同じです☆
各段階で、何をしたかというと・・・


☆1 (2,1)の成分、つまり-1を基本とします。
☆2 1列目の他の成分を0にするように、-1に都合のいい数をかけて変形します。
次に(3,2)成分、つまり1を基本とします。
☆3 2列目の他の成分を0にします。
☆4 1行目を12で割ります。
で、(1,3)成分、1を基本とします。
☆5 3列目のほかの成分を0にし。
☆6 階段になるように行の入れ替えをします。
で、解が求まります!
解を求める時は,x・y・zの係数は1で無いとダメです!
左側に変形のための式を書いておくと、
間違えた時に計算しなおしやすいし、最初は楽かと思います。
(1)・(2)とかは1行目・2行目ってことです。
基本とする成分は、同じ行や列を2度使ってはダメです。
参考になりましたでしょうか??
意味不明なとこや、分からないことがあれば、
補足していただければ!
問題を解いていくうちに、慣れて楽しくなるかと思います♪
見づらかったらスイマセン・・・



 
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この回答へのお礼

大変ご丁寧な回答ありがとうございました。とても参考になりましたし、コツがつかめました。

お礼日時:2004/11/28 20:11

連立方程式を行列の形にすると、



( 2 -1 -1 ) ( x ) ( 1 )
| -1 -2 -1 | | y |=| 1 | ・・・(A)
( -1 -1 2 ) ( z ) ( 1 )

となり、ここで

( 2 -1 -1 )
| -1 -2 -1 |=P
( -1 -1 2 )

としてPの逆行列P^-1を求める(途中式省略)と

1 ( 5 -3 1 )
― | -3 -3 -3 | =P^-1
12 ( -1 -3 5 )

となります。よってP^-1を式(A)の両辺の左側からかけると

( x ) 1 ( 5 -3 1 ) ( 1 )
| y |= ― | -3 -3 -3 | | 1 |
( z ) 12 ( 1 -3 5 ) ( 1 )


( x ) ( 1/4 )
| y |= | -3/4 |
( z ) ( 1/4 )

となります。
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この回答へのお礼

これは線形代数の解き方ではないですね。でも、こういう方法もあると教えていただきありがとうございました。

お礼日時:2004/11/28 20:13

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