０＜Q＜１のすべての有理数を重複なく網羅する数列（？）について

数学について興味があり、次のような数列を考えました。
０＜Q＜１のすべての有理数Qについて、既約分数ｎ/ｍ（ｎとｍはｎ＜ｍで互いに素の自然数）
の形で、重複なく全ての有理数Q＝ｎ/ｍを網羅する数列（？）として、１/２から始まり、
既約分数ｎ/ｍの次にｍ/(２ｍ－ｎ)と、(ｍーｎ)/(２ｍ－ｎ)の２つの有理数を続けて行けば、
１/２　→　２/３と１/３　→　３/４と１/４　と　３/５と２/５　→　．．．
という具合に数列（倍々に膨れる数列ですが）が出来て、すべてが既約分数で、
かつ互いに重複がなく、０＜Q＜１のすべての有理数Qを網羅する様に思います。
当たり前な事なのかもしれませんが、互いに素な２つ自然数の組み合わせが、
割り算などで確認することなく全て得られるのが何だか面白いと思います。
この様な数列（？）はよく知られているのでしょうか？

No.2 ベストアンサー 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2019/01/15 13:50

あまりわからないのに答えて申し訳ありません。

私はその道の人ではないので初めて見ます。

n=1,m=2 として、一次的な列を見ていくと、、、
ｍ/(２ｍ－ｎ)　からは、　（1/2）,2/3,3/4,4/5...　が出てきて、
(m-n)/(２ｍ－ｎ) からは、（1/2）,1/3,1/4,1/5...となる。

次に、n=1,m=3 とすると、
ｍ/(２ｍ－ｎ)　は、3/5,5/7,7/9,9/11... となり、
(m-n)/(２ｍ－ｎ) 　は、2/5,2/7,2/9,2/11...となる。

n=1,m=4 とすると、
4/7,7/10,10/13,...
3/7,3/10,3/13,...

となっていく。
このパターンを見てると、、、篩感はありますね。
（問題はただの数列とは違い、）

mとnがお互いに素であれば、ｍと2m-n や、m-nと2m-nがお互いに素であることを証明できれば、すべてが「既約分数」であることになります。

すべての有理数が出てくるというのは、有理数n/mを逆向きに計算していき、
どうにかすれば、1/2　にたどり着くということを言えばよいのでしょうけど、
有限のものをふるい落としていくのではなく、無限に分岐していくものなので、
証明されているかや（照明可能かどうかを含め）いまいちわかりません。

ある一定の分母においてすべての有理数が出てくるときとして、
帰納法を使えばできるのかなぁ？

この回答へのお礼

早速に回答下さり有難うございます。

ｎとｍが互いに素のとき、ｍと(２ｍ－ｎ)、(ｍ－ｎ)と(２ｍ－ｎ)は、背理法で
互いに素である事が証明できると思います。逆向きに計算する場合も同様です。

またｎ＜ｍなので、ｎ/ｍの次の２つの有理数は、ｍ/(２ｍ－ｎ)＞1/2と、
(ｍーｎ)/(２ｍ－ｎ)＜1/2となり、1/2より大きな数と小さな数になります。
従って、０＜Q＜１の任意の有理数ｎ/ｍの前の有理数を逆向きに計算すると、
ｎ/ｍ＞1/2の時は、ｎ/ｍの前の有理数は(２ｎーｍ)/ｎ
ｎ/ｍ＜1/2の時は、ｎ/ｍの前の有理数は(ｍ－２ｎ)/(ｍ－ｎ)　
となります。
いづれの場合も有理数(既約分数)の分母はｍからｎ、またはｍから(ｍ－ｎ)へと、
必ず減少するので、繰り返し逆向きに計算を続けていけば、途中で止まることはなく、
いつかは分母は既約分数の最小の分母である２に、つまり1/2に到達するはずです。

この1/2から始まる簡単な加減乗法だけで得られる数列（？）全体をＺとすると、
Ｚは０＜Q＜１のすべての有理数Qの既約分数ｎ/ｍの集合で、その中に、
ある数ｍについて、1/ｍ, 2/ｍ, 3/ｍ, ...., (ｍ-1)/ｍのすべてが含まれていれば、
ｍは素数という事になります。
逆にこの事を素数の定義としてしまえばどうなるでしょうか？

お礼日時：2019/01/16 06:53

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2019/01/15 23:52

例えば n=1, m=3 から (m-n)/(2m-n) を見ると

2/5, 2/7, 2/9, 2/11, ...
となるということは
・分子は 2
・全体として 1/2 より小さい
既約分数が徐々に小さくなるように見付かっている. ということは
・分子は定数 k
・全体として 1/2 より小さい
既約分数を考えたときに, これから逆に計算していくという方針で「1/2 より小さな既約分数は全部出てくる」ことが証明できる... かな?＞#2

この回答へのお礼

回答下さり有難うございます。

数学は全くの素人なのですが、もともとは碁盤の目の様なものを考えて、
ｎ＜ｍの三角の領域で、ｍ/(２ｍ－ｎ)は1/2より大きい領域の格子の目に、
(ｍ－ｎ)/(２ｍ－ｎ)は1/2より小さい領域に対応するように考えました。

有理数ｎ/ｍは、座標(ｍ,ｎ)の格子の目に対応しますが、既約分数の
座標には白い石を、そうでないものには黒い石を置いていくと、
(ｍ,ｍ－１)から(ｍ,１)までの縦の配列パターンと、
(ｍ＋１,ｍ)から(２ｍ－１,ｍ)までの横のパターンが同じになります。
またｎ/ｍが既約分数であれば、(ｍ－ｎ)/ｍも既約分数なので、
(ｍ,ｍ－１)から(ｍ,１)までの縦の配列パターンは、1/2を挟んで対象です。

このような図形的なイメージから、縦の配列を1/2より上の横配列に転写し、
更にそれを1/2より下に対象に転写して、今回の数列（？）を考えました。

縦に全て白い石が並ぶ位置が、既約分数ｎ/ｍの分母ｍが素数となる所ですが、
エラトステネスの篩では、黒い石をある数の倍数ごとに横方向に延々と置いて行き、
黒い石が置かれなかった隙間の縦の列を探すイメージです。
それに対して今回の数列（？）では、最初に1/2つまり(1,2)に白い石を置いて、
あとは規則に従って白い石だけを置いて行って、縦に全て白い石が並べば、
その列の分母ｍが素数であり、素数が自ら現れてくるイメージです。

両者の違いが単なるイメージの違いだけなのか、数学的に素数の概念として
違う意味があるのか、コンピューターで素数を見つけるアルゴリズムとして
使えるのか等の疑問があり、このような数列（？）が一般に知られているのか
知りたくて質問しました。

指数関数的に数が膨らむ数列（？）なので、コンピューターのプログラミング
には向いていないのかもしれませんが、、、、

お礼日時：2019/01/16 13:03

No.1 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2019/01/15 09:55

1/5,4/5はいつでてくるのかな？

この回答へのお礼

コメントありがとうございます。
説明が足りなくてすみませんでした。
長くなりますが、下記のような既約分数のツリーのような数列？で、
4/5と1/5は４段目に出てきます。
1/2
2/3,1/3
3/4,1/4 3/5,2/5
4/5,1/5 4/7,3/7 5/7,2/7 5/8,3/8
5/6,1/6 5/9,4/9 7/10,3/10 7/11,4/11 7/9,2/9 7/12,5/12 8/11,3/11 8/13,5/13
.....
なんだか当たり前の様な気もするのですが、分母の数が素数がかどうかが、
割り算をせずに結果が出て来るので面白い気がするのですが、あるいは、
この計算自体がエラトステネスの篩と同じ様なことをしているのでしょうか？

お礼日時：2019/01/15 12:56