行列の問題です 解説よろしくお願します R∧nの基本ベクトルe1,....ek(k≤n)は1次独立で

行列の問題です
解説よろしくお願します
R∧nの基本ベクトルe1,....ek(k≤n)は1次独立であることを示せ

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/01/17 02:07

基本ベクトルという用語の定義が問題ですね。

質問の証明は、これの定義のしかたによって
違ってくるのですが、そもそも基本ベクトル
というのは、ベクトル幾何の用語であって
線型代数の用語ではないため、ちゃんとした
形式的な定義があるのかどうか怪しいです。
多くの文献で、各座標軸正方向の単位ベクトル
として導入されており、基本ベクトルと
座標系の間には循環定義が見られます。
いったい、基本ベクトルって何さ？

頑張って線型代数の枠組み内で定義するならば、
線型空間にひとつの正規直交基底を固定して
その基底を特別視するとき、そこに含まれる
基底ベクトルを基本ベクトルと呼ぶ…ぐらいかな？
この定義だと、基本ベクトルは基底の元なのだから、
一次独立であることは基底の定義より自明という
ことにしかなりません。厳密だが、つまらない。

あるいは、基本ベクトルは所詮ベクトル幾何の用語
でしかないと開き直って、数対ベクトル空間において
１個の成分が１、他の成分が０であるベクトルを
基本ベクトルと呼ぶ…と定義する手もありますか。←[*]
数対ベクトル空間は、中学高校の教科書でお馴染み
ですが、基底を定義して成分を定義してゆく以前に
まずベクトルを行列(行ベクトル)として書いたときの
成分が出てきてしまうので、成分という言葉の使い方が
微妙で、何をやっているのか不安が拭いきれないという
弱点はあります。

ともあれ、ここでは[*]の定義をとります。
ベクトル e_1,e_2,…,e_n が一次独立であるとは、
スカラー c_1,c_2,…,c_n が
(c_1)(e_1)+(c_2)(e_2)+…+(c_n)(e_n) = 0 を満たす
ならば c_1 = c_2 = … = c_n = 0 であることです。
[*]より、(c_1)(e_1)+(c_2)(e_2)+…+(c_n)(e_n)
= (c_1,c_2,…,c_n) なので、これが 0 ベクトルなら
c_1 = c_2 = … = c_n = 0 が成り立ちます。証終。
これって、本当に証明になっているんですかね？

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2019/01/17 01:21

なにがわからないんでしょうか?