平行平板コンデンサーに誘電体を満たした場合の容量は分かるのですが、それでは平行平板コンデンサー内に一様に厚さ方向の何分の一かだけを誘電体にした場合(例えば平行平板の片側に誘電体を塗るとか)の容量はどうなるのでしょうか?その際蓄えられる静電エネルギーは?なるべく詳しく教えて頂きたいです。

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A 回答 (4件)

平行平板は無限に広がっており、平板間の電場は一定と見なせると言う理想条件で考えます。


平行平板間には、誘電率εの誘電体が詰まっているとします。
以上の条件で静電エネルギーを考えます。
div(D)=ρ  (1)
の式を使ってもいいのかなぁ~?この式を使っていいなら、一方の平行平板を含む領域(底辺の面積がδAの円筒状の領域をイメージしています)で(1)式を積分し、平板が無限大であることから、電場の成分が、平板面に垂直方向しかないことがわかります。面積あたりの電荷密度がσとすると、平行平板を形成する金属内では電場が0と言うことに注意すれば、
ε*E*δA=σ*δA (2)
ここでδAは面積素片
(2)式より平行平板間の電場がE=σ/εと求まります。
このようにして、平行平板間の電場を求め、平行平板間で電荷を少しづつ移動させ最終的に電荷がQとするのに必要な仕事が静電エネルギーとなるという求めます(W=∫E*q dl)。高校物理の範囲で考えるとこのような導出方法は掟破りとなりますのでやめます。
****************************************************************
****************************************************************
やはり高校物理の範囲で説明しようとすると、
平行平板間の電圧がV、平行平板間のコンデンサ(容量)がCの時、平行平板の電荷Qは
Q=C*V (3)
で与えられるという物理関係式と
電圧Vのとき、電荷Qに対する仕事は
V*Q
で与えられることを基礎に導出します。
容量Cに電荷が
(1)0
(2)Q/N
(3)2*Q/N


N*Q/N


とQ/N毎に電荷を平行平板間で移すことを考えます。
仕事は、電圧*電荷で与えられますので、
(1)での仕事は、(0*Q/N/C)*Q/N
(2)での仕事は、(1*Q/N/C)*Q/N
(3)での仕事は、(2*Q/N/C)*Q/N

最後の電荷の移動での仕事は、(N*Q/N/C)*Q/N

よって全仕事は
Σ   (k*Q/N/C)*Q/N=Q*Q/C/N/N*(N)*(N+1)/2=Q*Q/C/2=0.5*C*V*V (4)
k=0~N
(4)式で求められた仕事が静電エネルギー(コンデンサのエネルギー)として蓄えられます。

W=0.5*C*V*V
とNo1のgator氏の導出されたCを代入すれば静電エネルギーが求まります。
大学レベルでの導出はsiegmund氏のヒントを元に計算していただければよいかと思います。
電圧Vは電位差と記述した方がgoodだったかも。
誤記、誤解がありましたらゴメンナサイ。
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レポート問題のようなのでヒントだけ.



コンデンサーの極板に与える電荷Qを決めたとします.

○ 電束密度Dは誘電体があってもなくても同じ.
○ Dがわかれば電場Eがわかる
○ Eがわかれば電位差Vがわかる.
○ Vがわかれば,容量Cがわかる.
○ V,Cがわかれば静電エネルギーがわかる.
○ 電場に静電エネルギーが蓄えられているという考えでも静電エネルギー
  は計算できる.
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コロナ社の演習問題にあったような.......



回答は下の方を御覧下さい。
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コンデンサを直列に繋いだ場合、全体の容量はC=1/(1/C1+1/C2)ですよね。


面積Sが同じで間隔がd1とd2のコンデンサを直列に繋ぐとC=ε0S/(d1+d2)ですよね。
面積S、間隔d、誘電率ε0のコンデンサの間に面積S厚みゼロの金属を挿入します。
位置は一方の電極からd1、もう一方からd2、当然d1+d2=d
この場合、容量はd1のコンデンサとd2のコンデンサの直列と考えて全体の容量は
C=ε0S/(d1+d2)=ε0S/d、つまりもとと変わりません。
さて、前置きが長くなりましたが、上でd1を誘電体ε1で満たしたとすると、結局
C1=ε1S/d1とC2=ε0S/d2の直列と考えれば良いので、C=ε0ε1S/(ε0d1+ε1d2)
となります。・・・(答)
ついでに、挿入する誘電体が全面ではなく、一部だったら、、、
簡単のために今度は厚み方向は全部を満たすとして、S=S1+S2だったら、コンデンサ
の並列で考えれば良いだけです。
最後に面積S1、高さd1の誘電体を挿入したら、、、S=S1+S2、d=d1+d2
として、まず(ε0,S1,d2)と(ε1,S1,d1)を直列につなぎ、それと(ε0,S2,d1)
を並列に繋げば良い事になります。
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Q【電気】回路計が交流電流を測定出来ないのはなぜですか? 回路計は直流電圧、交流電圧、直流電流しか測定

【電気】回路計が交流電流を測定出来ないのはなぜですか?


回路計は直流電圧、交流電圧、直流電流しか測定出来ないと聞きました。

なぜ回路計は交流電流が計測出来ないのでしょう?


あとクランプメーターは直流電流、交流電流が測定出来るので交流電流はクランプメーターで測定するのでしょうか?

Aベストアンサー

> なぜ回路計は交流電流が計測出来ないのでしょう?
交流電流も、整流器をつければ可能です。そんな回路が無い計器なのでしょう。
この整流器は負荷電圧に影響を与えるので、正確さを犠牲にして測定するか否か、です。

Q平行平板コンデンサーに誘電体を挿入する

平行平板コンデンサー(面積S,距離d、表面の電荷密度qで帯電している)に誘電体をきっちりいれるとき、誘電体が
分極の強さPで誘起されるとき、このコンデンサーの静電容量を求めよ。(ただし両極板は何もつながれていないし、真空の場合の静電容量C。=ε。*S/dは使ってよい)

という問題を考えているのですが、
コンデンサーの間の電場は、極板から電気力線がqS本でていたのが誘電分極で誘起された分pSの分だけ減って、
結局qS-pS本が極板から極板にでているので、
両極板の電位差はqS-pS本の電気力線が出ている場合の真空中のコンデンサーの両極版の電位差と等しいのでこれをVとおくと
V=d(q-p)/ε。
よって帯電している電荷はqsで保存しているので
求める静電容量Cは
C=qS/V=ε。S(q-P)/dと考えたのですが、

何か違うような気がします。
どうか何が違うかご指摘ください

Aベストアンサー

>考え方の方は問題ないでしょうか?
問題ありません、正解です。
ところで、折角ですから少し一般的に議論を展開すると(←蛇足)
誘電率εの誘電体をコンデンサ(電極間距離d、印加電圧V)に入れた場合、電束密度Dは
 D=εE=ε(V/d)=σ  (1) 
と書かれます。誘電体の誘電分極により誘電体表面に蓄えられる分極電荷をσpとすると、コンデンサの両極に於ける見かけ上の総電荷密度σtは、電極の電荷と誘電体表面の電荷は互いに逆符号で消しあうから
 σt=σ-σp  (2)
となります。ところでこれは誘電体をきっちり入れない(真空中の)コンデンサの両端に電荷σtが蓄えられたことと同じ状態と見なすことができますから、
 D=ε0E=ε0(V/d)=σt=σ-σp  (3)
これから
 V=d(σ-σp)/ε。  (4)
また、コンデンサの容量Cは
 C=Q/V=σS/V  (5)
と書けますから、(5)に(4)を入れればCが求まります。
(記号はσ≡q、σp≡pと置き換えて考えてください)

Q電荷を与えられた誘電体球について

電荷を与えられた誘電体球について

こんにちは、
手元にある書物「電磁気学演習」
http://www.kyoritsu-pub.co.jp/sankosyo/contents/03022-2.html)のp.77を見ますと
11.1全電荷Qで一様に帯電された半径a、誘電率εの誘電体球の内、外の電位を求めよ。
とあります。下記の基本的なことを教えてください。
(1)誘電体球には、プラスかマイナスのどちらかの電荷しか、溜まっていないのでしょうね?それとも、誘電体球は、全体で見れば、中性なのでしょか?
http://www.moge.org/okabe/temp/elemag/node30.html
(2)誘電体球に電荷を蓄積させる方法は、例えば下記HPの方法でしょうか?
(3)下記のようなバンデグラフの頭は誘電体球とは呼ばないのでしょうか?
http://www.geocities.jp/jun930/ele/vandegraaf.html
(4)誘電体球に電荷が溜まっている状態は、スポンジ(誘電体球)が水(電荷)を含んだ状態と似たようなものと考えて良いのでしょうか?
(5)誘電体球と導体球の違いは何でしょうか?

電荷を与えられた誘電体球について

こんにちは、
手元にある書物「電磁気学演習」
http://www.kyoritsu-pub.co.jp/sankosyo/contents/03022-2.html)のp.77を見ますと
11.1全電荷Qで一様に帯電された半径a、誘電率εの誘電体球の内、外の電位を求めよ。
とあります。下記の基本的なことを教えてください。
(1)誘電体球には、プラスかマイナスのどちらかの電荷しか、溜まっていないのでしょうね?それとも、誘電体球は、全体で見れば、中性なのでしょか?
http://www.moge.org/okabe/temp/elemag/node30.html
(...続きを読む

Aベストアンサー

まあ、帯電したと書いてあるので、中性ではないでしょうね。

で、誘電体球と導体球は、全宇宙空間に、単にそれしかないときは同じだと思います。
外部の電場や電荷に対して、その球体とそれが作る電場がどう応答するかが違いますよね。
誘電体は分極できるので。

なので、スポンジは重力で水が分極するといえば、似てなくもないですが、
偏った水がなにか外力を及ぼすわけではないので、似ていないのではないでしょうか。

Q平行平板間の静電容量は、C=εS/dですが、もしεの誘電体の幅がt(0

平行平板間の静電容量は、C=εS/dですが、もしεの誘電体の幅がt(0<t<d)の場合どうなるのでしょうか?

Aベストアンサー

まず、C=εS/dは無条件でなりたつ式ではありません。
電極間の間隔に比べて、電極の面積が十分に大きいことが前提です。
電極の周辺においては、電気力線が乱れるが、電極の面積に比べて、
乱れの発生する面積が十分に小さければ、近似的に上の式が成り立ち
ます。
誘電体の幅とは、厚みのことと解釈しまして、上と同じ前提のもとで、
考えることとします。
この場合、電極間距離がt、誘電率ε1のコンデンサと
電極間距離が(d-t)、誘電率ε2のコンデンサ

C1=ε1・S/t と C2=ε2・S/(d-t)

の2つのコンデンサの直列接続と考えることができます。

Qコンデンサーに誘電体を挿入するときの引力

直流電源に繋がれたコンデンサーの間に、
底面積がコンデンサーの金属板より小さく、高さがコンデンサーの間隔と等しい直方体形の誘電体を横から入れていく時、
(1)誘電体がコンデンサーからはみ出ている時は、
 コンデンサーの中に引き入れられる向きに引力を受けますが、
(2)誘電体が完全にコンデンサーの中に入っている時は、
 その位置が右に偏っていようが左に偏っていようが、(合力としては)引力も斥力も生じないそうです。
少し難しめの物理の問題集(大学受験用)にそう書かれていました。
問題としては、この現象を数学的に解析させるもので、
それを見ればこの現象が起こるのはわからないでもないのですが、
これをコンデンサーの金属板と誘電体の表面の電荷から考えると、どうも納得できません。

(1)
□□□□□□□□□□□□□ ←コンデンサー
□+□+□+□+□+□+□
             ■-■-■■■
             ■■■■■■■ ←誘電体
             ■■■■■■■
             ■+■+■■■
□-□-□-□-□-□-□
□□□□□□□□□□□□□

この図のような(誘電体がコンデンサーからはみ出ている)時、
コンデンサーの左側の表面電荷と、誘電体の誘電分極による表面電荷が引力を及ぼしあうから、
誘電体はコンデンサーの中心向きに引力を受けるというのはわかります。
しかし、

(2)
□□□□□□□□□□□□□
□+□+□+□+□+□+□
 ■-■-■-■
 ■■■■■■■
 ■■■■■■■
 ■+■+■+■
□-□-□-□-□-□-□
□□□□□□□□□□□□□

この図のような時、
誘電体から見て左側より右側の方がコンデンサーの表面電荷が多く存在するから、
誘電体は右側に引き寄せられる気がします。
この考え方はどこが間違っているのでしょうか?

直流電源に繋がれたコンデンサーの間に、
底面積がコンデンサーの金属板より小さく、高さがコンデンサーの間隔と等しい直方体形の誘電体を横から入れていく時、
(1)誘電体がコンデンサーからはみ出ている時は、
 コンデンサーの中に引き入れられる向きに引力を受けますが、
(2)誘電体が完全にコンデンサーの中に入っている時は、
 その位置が右に偏っていようが左に偏っていようが、(合力としては)引力も斥力も生じないそうです。
少し難しめの物理の問題集(大学受験用)にそう書かれていました。
問題として...続きを読む

Aベストアンサー

重要な点を見落としています。
それは誘電体を入れる前とあとでコンデンサの
電荷の分布が変化しないとしている点です。
誘電体を入れる前は、電荷の分布がほぼ一様です。
誘電体を入れると誘電体のある部分に電荷が集中し、
誘電体が無い部分の電荷はほとんど無くなります。
これは電極の電荷によって誘電体の電極面に電荷が現れますが、
逆にこの電荷によっても電極の電荷も引き寄せられるからです。
このため、誘電体は右には引き寄せられません。

□ □ □ □ □ □ □ □ □
□+□+□+□+□ □ □ □ □
■-■-■-■-■
■ ■ ■ ■ ■
■ ■ ■ ■ ■
■+■+■+■+■
□-□-□-□-□ □ □ □ □
□ □ □ □ □ □ □ □ □

Q平行板コンデンサーの誘電体の挿入による電界の変化について

はじめまして。
ただいま受験勉強中の高校3年生ですが、少し分かりにくかった部分があったので質問させていただきます。

並行板コンデンサの誘電体の挿入による電界の変化の問題で(名問の森 P34の(3)(ア)です)

図のRとLの電界の比はどうなっているかという問いなのですが、(答えは1:1です)
なぜ1対1になるのか分かりません。V=Edで変形してE=V/d。スイッチは閉じられているのでVは一定でdも一定でどちらも同じという事なのらしいのですが、誘電体って極板間の距離を縮める効果があったような気がして…
しかも誘電体内の電界は周りの電界の1/εrになりますよね。
だからεrが=1つまり空気でない限り、比誘電率ぶん変わってしまうと思ったのですが。どうでしょうか?

また回答の隅に右図が書いてあって、
これはVが一定(スイッチが入った状態)で並行板コンデンサに極板の何分の1かの誘電体を挿入した場合、その誘電体内の電界がまだ挿入してない部分と等しくなり挿入したぶぶんの空気の部分は、E0=εrEという事でしょうか?
また何故こういうことがいえるのか教えていただけると嬉しいです

よろしくお願いします。

はじめまして。
ただいま受験勉強中の高校3年生ですが、少し分かりにくかった部分があったので質問させていただきます。

並行板コンデンサの誘電体の挿入による電界の変化の問題で(名問の森 P34の(3)(ア)です)

図のRとLの電界の比はどうなっているかという問いなのですが、(答えは1:1です)
なぜ1対1になるのか分かりません。V=Edで変形してE=V/d。スイッチは閉じられているのでVは一定でdも一定でどちらも同じという事なのらしいのですが、誘電体って極板間の距離を縮める効果があったような気がして...続きを読む

Aベストアンサー

こんばんは。

これは非常に単純な話です。
ひっかけ問題と言ってもよいかもしれません。

まず、LとRで、極板間にかかっている電圧は同じです。
そして、
電界というのは、その電圧を、向かい合う極板間の距離で割ったものです。
したがって、この場合は、電界はLとRで同じなのです。

ご参考になりましたら幸いです。

Q気体は誘電体??

 タイトルの通りです。
Q1空気や二酸化炭素や窒素などの気体は誘電体なのですか?

Q2もし、誘電体なら誘電分極を起こすはずです。
気体の場合の誘電分極とは普通の誘電体(プラスチックなど)とは違うのですか?

以上2つですが、1つでもかまいません。どなたか教えてください。

Aベストアンサー

>Q1空気や二酸化炭素や窒素などの気体は誘電体なのですか?
はい。極論をいうと絶縁体はみな誘電体です。比誘電率に違いがあるだけです。

>Q2もし、誘電体なら誘電分極を起こすはずです。
>気体の場合の誘電分極とは普通の誘電体(プラスチックなど)とは違うのですか?
基本的には同じです。ただ固体の場合は各分子の分極同士が強めあうように働くことがあるのと、単位体積あたりの原子・分子の数は非常に多いですから誘電率は気体よりも大きくなるのが普通です。

Q静電容量2Fのコンデンサを充電したところ蓄えられたエネルギーは10Jだった。このコンデンサに蓄えられ

静電容量2Fのコンデンサを充電したところ蓄えられたエネルギーは10Jだった。このコンデンサに蓄えられた電荷はいくつか

という問題で、
W=(1/2)×CV^2より
(1/2)×2×V^2=10
V^2=10
V=√10

Q=CVより
Q=2√10
と計算したら間違いでした。どこを間違えているのでしょうか

Aベストアンサー

>答えはQ=200でした。
ならば電圧は100Vですから
(1/2)・2・100^2=10 kJ で全然合いません。
どれか数字が大きく間違ってます。

>どういう意味でしょうか

電圧源から抵抗を介してコンデンサに充電すると
電源からのエネルギーの半分しかコンデンサに
溜まらないのです。

よく例題と出題されます。

Qコンデンサーと誘電体に関する問題なのですが・・・

電気容量C(F)の平行平板空気コンデンサーにV(v)の電池をつなぎ、両極板に図のように物質を入れた。このとき、コンデンサーに蓄えられる電気量を求めよ。
(1)極板間隔の半分の厚さの金属板を、極板と平行に入れた場合。
---------------
l           l
l           l
---←V(+)  --------
--        ○○○←誘電体(極板間隔の半分の厚さ) 
l         --------
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(2)極板間の右半分を、比誘電率がεrの誘電体で満たした場合。
---------------
l           l
l           l
---←V(v)  ---○○○
--           ○○○←右半分のみ誘電体 
l         ---○○○
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---------------
(3)下半分を(2)と同じ誘電体で満たし、その誘電体の上面を厚さの無視できる金属板で覆った場合。
---------------
l           l
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---←V(v)  --------
--         
l         ○○○○○←下半分のみ誘電体
l         ○○○○○
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---------------
物理学の講義中、問題として出たのですが、解けずに困ってしまい質問させていただきました。 既出でしたらすいません。

電気容量C(F)の平行平板空気コンデンサーにV(v)の電池をつなぎ、両極板に図のように物質を入れた。このとき、コンデンサーに蓄えられる電気量を求めよ。
(1)極板間隔の半分の厚さの金属板を、極板と平行に入れた場合。
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---←V(+)  --------
--        ○○○←誘電体(極板間隔の半分の厚さ) 
l         --------
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(2)極板間の右半分を、比誘電率がεr...続きを読む

Aベストアンサー

1)半分の厚さの誘電体を入れたの間違いですよね。
 この場合は、厚さ1/2の空気コンデンサと、厚さ1/2の誘電体コンデンサを直列に接続したものとして考えればいいと思います。

2)右半分を誘電体
 この場合は、極板面積が1/2の空気コンデンサと、同じく極板面積1/2の誘電体コンデンサを並列に接続したものとして考えればいいと思います。

3) 1)と同じ考え方でいいと思います。

Q平行平板コンデンサーの間隔を広げると

質問させていただきます.

『面積Sの2枚の導体が間隔x離してあり±Qの電荷を加える.誘電率はε。とする.起電力Vの電池をつけたままコンデンサーの間隔をdxだけ広げることによりコンデンサーが失った電荷は電池に戻され,電池に対して仕事をする.』
とあったのですが,この仕事の求め方はどうすればよいのでしょうか??
W=qV=qEdxが関係あるのでしょうか??
(↑もしくはdxじゃなくてx+dxかな?)

Aベストアンサー

この問題は3つから成っていますね。±Qの電荷を加えるのと、電圧Vを加えることが同じ文で書かれているので変だなと思いました。

【問題】
面積 S [m^2]、間隔 x [m] の平行平板コンデンサがある。
(1) 両電極に±Q [C] の電荷を加えるとき、両電極が受ける力 F1 [N] を求めよ。
(2) 両電極に電圧 V [V] を印加したとき、両電極が受ける力 F2 [N] を求めよ。
(3) (1)と(2)のとき、電極間隔をdx [m] け変化させたときの仕事 δW1 [J]、δW2 [J]を求めよ。

【回答例】
電極間の誘電率をε[F/m]とすれば、平行平板コンデンサの容量 C [F] は、C = ε*S/x --- [1] である。

(1) 電荷一定のとき、Cに蓄えられる静電エネルギー W1 [J] は、W1 = Q^2/(2*C) --- [2]。式[1]を[2]に代入して、W1 = x*Q^2/(2*ε*S)。電極間の力 F1 [N] は、F1 = -∂W1/∂x = -Q^2/(2*ε*S)。F1<0 なのでこの力は引力である。

(2) 電圧一定のとき、Cに蓄えられる静電エネルギー W2 [J] は、W2 = C*V^2/2 --- [3]。式[1]を[3]に代入して、W2 = ε*S*V^2/(2*x)。電極間の力 F2 [N] は、F2 = -∂W2/∂x = -Vε*S^2/(2*x^2)。F2<0 なのでこの力は引力である。

(3) 電極間隔xをdxだけ動かすときの仕事 δW は、電極が受ける力 F に微小変位 dx をかけたもので、(1)の場合は δW1 = F1*dx = -Q^2/(2*ε*S)*dx、(2)の場合は δW2 = F2*dx = -Vε*S^2/(2*x^2)*dx。dx>0なら、δW1<0、δW2<0なので、どちらの場合も、電極間隔を変化させることによってエネルギーを奪う(取り出す)ことになる。

この問題は3つから成っていますね。±Qの電荷を加えるのと、電圧Vを加えることが同じ文で書かれているので変だなと思いました。

【問題】
面積 S [m^2]、間隔 x [m] の平行平板コンデンサがある。
(1) 両電極に±Q [C] の電荷を加えるとき、両電極が受ける力 F1 [N] を求めよ。
(2) 両電極に電圧 V [V] を印加したとき、両電極が受ける力 F2 [N] を求めよ。
(3) (1)と(2)のとき、電極間隔をdx [m] け変化させたときの仕事 δW1 [J]、δW2 [J]を求めよ。

【回答例】
電極間の誘電率をε[F/m]とすれば、平行...続きを読む


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